Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

Schritt 1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Schritt 1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6

Differenziere.

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Schritt 1.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.7

Addiere $2 x + 8$ und $0$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

Schritt 1.6.9

Mutltipliziere $x^{2} + 8 x + 16$ mit $1$ .

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.7

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.8

Addiere $6 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.9

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.10

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

Schritt 1.7.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 48 x + 48$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 x + 48 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $18 x + 48$ und $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 48$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $18 x + 48$ .

$18 x + 48$