Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \tan (x) + 2 \cot (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \tan (x) + 2 \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \tan (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cot (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 (- \csc^{2} (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sec^{2} (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$3 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Schritt 2.3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Schritt 2.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Schritt 2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$