Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} i + 2 x j + x k$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i) + 2 x j + x k$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)]$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} \cdot i] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ und $i$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.4

Da $\frac{2 i}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} i}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 i}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $\frac{2 i}{3}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 i (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.2.15

Dividiere $i x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x j]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 j$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x j$ nach $x$ gleich $2 j \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + \frac{d}{d x} [x k]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x k]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x k$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$f' (x) = i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$ .

$\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $i$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $i x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$i (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$i \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $i$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{i x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2 j$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 j$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + \frac{d}{d x} [k]$

Schritt 2.3.2

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + 0$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$