Analysis Beispiele

$f (x) = 7 e^{- \frac{x}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{- \frac{x}{3}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x}{3}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{3}$ .

$7 (e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 e^{- \frac{x}{3}} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 e^{- \frac{x}{3}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 7$ .

$\frac{- 7}{3} e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.3

Kombiniere $\frac{- 7}{3}$ und $e^{- \frac{x}{3}}$ .

$\frac{- 7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- \frac{7}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{7}{3} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$ .

$- \frac{7}{3} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x}{3}$ .

$- \frac{7}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{7}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{3}$ .

$- \frac{7}{3} (e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kombiniere $e^{- \frac{x}{3}}$ und $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x}{3}} \cdot 7}{3} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Schritt 2.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{x}{3}}$ .

$- \frac{7 \cdot e^{- \frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Schritt 2.3.3

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$