Analysis Beispiele

$h (t) = 3 + 2.7 \sin (1.3 t + 0.9)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 2.7 \sin (1.3 t + 0.9)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [2.7 \sin (1.3 t + 0.9)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2.7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2.7 \sin (1.3 t + 0.9)$ nach $t$ gleich $2.7 \frac{d}{d t} [\sin (1.3 t + 0.9)]$ .

$0 + 2.7 \frac{d}{d t} [\sin (1.3 t + 0.9)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 1.3 t + 0.9$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1.3 t + 0.9$ .

$0 + 2.7 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + 2.7 (\cos (u) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1.3 t + 0.9$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1.3 t + 0.9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9]$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9]))$

Schritt 1.2.4

Da $1.3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1.3 t$ nach $t$ gleich $1.3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.9]))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.9]))$

Schritt 1.2.6

Da $0.9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $1.3$ mit $1$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) (1.3 + 0))$

Schritt 1.2.8

Addiere $1.3$ und $0$ .

$0 + 2.7 (\cos (1.3 t + 0.9) \cdot 1.3)$

Schritt 1.2.9

Bringe $1.3$ auf die linke Seite von $\cos (1.3 t + 0.9)$ .

$0 + 2.7 (1.3 \cdot \cos (1.3 t + 0.9))$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $1.3$ mit $2.7$ .

$0 + 3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$ .

$f' (t) = 3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $3.51$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3.51 \cos (1.3 t + 0.9)$ nach $t$ gleich $3.51 \frac{d}{d t} [\cos (1.3 t + 0.9)]$ .

$3.51 \frac{d}{d t} [\cos (1.3 t + 0.9)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 1.3 t + 0.9$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1.3 t + 0.9$ .

$3.51 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$3.51 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1.3 t + 0.9$ .

$3.51 (- \sin (1.3 t + 0.9) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.51$ .

$- 3.51 (\sin (1.3 t + 0.9) \frac{d}{d t} [1.3 t + 0.9])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1.3 t + 0.9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9]$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (\frac{d}{d t} [1.3 t] + \frac{d}{d t} [0.9])$

Schritt 2.3.3

Da $1.3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1.3 t$ nach $t$ gleich $1.3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.9])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.9])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $1.3$ mit $1$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 + \frac{d}{d t} [0.9])$

Schritt 2.3.6

Da $0.9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) (1.3 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $1.3$ und $0$ .

$- 3.51 \sin (1.3 t + 0.9) \cdot 1.3$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $1.3$ mit $- 3.51$ .

$f'' (t) = - 4.563 \sin (1.3 t + 0.9)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $h (t)$ nach $t$ ist $- 4.563 \sin (1.3 t + 0.9)$ .

$- 4.563 \sin (1.3 t + 0.9)$