Analysis Beispiele

$f (x) = 8 - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$0 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$0 + x^{- 2} + 0$

Schritt 1.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$0 + x^{- 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$