Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x + 5}{- 6 x - 8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 5$ und $g (x) = - 6 x - 8$ .

$\frac{(- 6 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(- 6 x - 8) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $- 6 x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (- 6 x - 8) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 + 0)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.12.1

Addiere $- 6$ und $0$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) \cdot - 6}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) + 6 (2 x + 5)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 6 x) + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x + 5)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 6 x) + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{- 12 x + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 12 x + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 12 x + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 12 x - 16 + 12 x + 30$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $- 12 x$ und $12 x$ .

$\frac{0 - 16 + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$\frac{- 16 + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Addiere $- 16$ und $30$ .

$\frac{14}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x - 8$ heraus.

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Schritt 1.3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{14}{{(2 (- 3 x) - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{14}{{(2 (- 3 x) + 2 (- 4))}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x) + 2 (- 4)$ heraus.

$\frac{14}{{(2 (- 3 x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Wende die Produktregel auf $2 (- 3 x - 4)$ an.

$\frac{14}{2^{2} {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{14}{4 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 (7)}{4 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(- 3 x - 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (7)}{2 (2 {(- 3 x - 4)}^{2})}$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 7}{2 (2 {(- 3 x - 4)}^{2})}$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{7}{2 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2 {(- 3 x - 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}$ als ${({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(- 3 x - 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(- 3 x - 4)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = - 3 x - 4$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 x - 4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$\frac{7}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x - 4$ .

$\frac{7}{2} (- 2 {(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{2} ({(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Schritt 2.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{- 14}{2} ({(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ und $\frac{- 14}{2}$ .

$\frac{{(- 3 x - 4)}^{- 3} \cdot - 14}{2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.3.1

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ .

$\frac{- 14 \cdot {(- 3 x - 4)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.3.2

Bringe ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 14}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(- 3 x - 4)}^{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 ({(- 3 x - 4)}^{3})} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.3.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 + 0)$

Schritt 2.3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.8.1

Addiere $- 3$ und $0$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \cdot - 3$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.3.8.3

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.3.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f'' (x) = \frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$