Analysis Beispiele

$f (x) = (4 x^{2} + 3 x) \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} + 3 x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Schritt 1.4.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 3 \cos (x)$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x \cos (x)]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.4.2

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.4.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.5.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 (- \sin (x))$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 (\sin (x) (x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 \sin (x) x - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) - 8 (x (\sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.4.3

Subtrahiere $8 x \sin (x)$ von $- 8 \sin (x) x$ .

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Schritt 2.6.4.3.1

Bewege $\sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.4.3.2

Subtrahiere $8 x \sin (x)$ von $- 8 x \sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.6.4.4

Subtrahiere $3 \sin (x)$ von $- 3 \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$