Analysis Beispiele

$g (x) = 8 x {(2 x - 5)}^{9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x {(2 x - 5)}^{9}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{9}] + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$8 (x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \cdot 1)$

Schritt 1.4.8

Mutltipliziere ${(2 x - 5)}^{9}$ mit $1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $18$ mit $8$ .

$144 (x ({(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{8}$ aus $144 x {(2 x - 5)}^{8} + 8 {(2 x - 5)}^{9}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{8}$ aus $144 x {(2 x - 5)}^{8}$ heraus.

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{8}$ aus $8 {(2 x - 5)}^{9}$ heraus.

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{8}$ aus $8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$ heraus.

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x + 2 x - 5)$

Schritt 1.5.4

Addiere $18 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 x - 5)}^{8}$ und $g (x) = 20 x - 5$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [20 x - 5] + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3.2

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + 0) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Addiere $20$ und $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \cdot 20 + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $20$ auf die linke Seite von ${(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 (20 \cdot {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Schritt 2.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $20 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 \cdot (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 2.5.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 2.5.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + 0))$

Schritt 2.5.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \cdot 2)$

Schritt 2.5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 16 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8}) + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $20$ mit $8$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $20$ mit $16$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 5$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7})$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{7}$ aus $160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.6.1

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{7}$ aus $160 {(2 x - 5)}^{8}$ heraus.

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$

Schritt 2.6.6.2

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{7}$ aus $8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ heraus.

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$

Schritt 2.6.6.3

Faktorisiere $8 {(2 x - 5)}^{7}$ aus $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$ heraus.

$f'' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$