Analysis Beispiele

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ und $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 x - \frac{97}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.2

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.5

Da $- 97$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{97}{x}$ nach $x$ gleich $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.6

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Schritt 1.2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Schritt 1.2.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Schritt 1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Schritt 1.2.13

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Schritt 1.2.15

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $97$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Schritt 1.3.3

Stelle die Terme um.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1

Multipliziere $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.4

Multipliziere $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.3.4.2.4.1

Kombiniere $9$ und $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.7

Multipliziere $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.3.4.2.7.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.7.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.4.2.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.3

Multipliziere $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.4.2.1

Bewege $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.3

Mutltipliziere $18$ mit $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.4.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{97}{x}$ in den Zähler.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $18 x$ heraus.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.6

Mutltipliziere $18$ mit $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Schritt 1.3.4.4.7

Multipliziere $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

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Schritt 1.3.4.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Schritt 1.3.4.4.7.2

Kombiniere $7$ und $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Schritt 1.3.4.4.7.3

Mutltipliziere $7$ mit $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Schritt 1.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $- \frac{679}{x}$ und $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ und $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Schritt 1.3.6

Addiere $162 x^{2}$ und $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Schritt 1.3.7

Subtrahiere $126 x$ von $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $1746$ von $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $486 x^{2} - 252 x - 873$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $486$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $486 x^{2}$ nach $x$ gleich $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 252$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 252 x$ nach $x$ gleich $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 252$ mit $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 873$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 873$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $972 x - 252$ und $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $y (x)$ nach $x$ ist $972 x - 252$ .

$972 x - 252$