Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{11}} - x \frac{4}{11}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{11}} - x \frac{4}{11}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{11}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $11$ von $3$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{- 8}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{3}{11} x^{- \frac{8}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{11}$ und $x^{- \frac{8}{11}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{8}{11}})}{11} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{8}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$ .

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{4}{11}$ und $x$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{11}]$

Schritt 1.3.2

Da $- \frac{4}{11}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x}{11}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{11} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{12}{11}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}$ nach $x$ gleich $\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}]$ .

$\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}$ als ${(x^{\frac{8}{11}})}^{- 1}$ um.

$\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{8}{11}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{8}{11}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{8}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{11}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{12}{11} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{11}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{8}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- {(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{11}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{11}$ .

$\frac{12}{11} (- {(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{\frac{8}{11} \cdot - 2} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere $\frac{8}{11} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{8}{11}$ und $- 2$ .

$\frac{12}{11} (- x^{\frac{8 \cdot - 2}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{12}{11} (- x^{\frac{- 16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8 - 1 \cdot 11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8 - 11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $11$ von $8$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{- 3}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{- \frac{3}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{8}{11}$ und $x^{- \frac{3}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} \frac{8 x^{- \frac{3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{8 x^{- \frac{3}{11}}}{11}$ und $x^{- \frac{16}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{- \frac{3}{11}} x^{- \frac{16}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{3}{11}}$ mit $x^{- \frac{16}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Bewege $x^{- \frac{16}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8 (x^{- \frac{16}{11}} x^{- \frac{3}{11}})}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{- \frac{16}{11} - \frac{3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{\frac{- 16 - 3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.13.4

Subtrahiere $3$ von $- 16$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{\frac{- 19}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{- \frac{19}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{19}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8}{11 x^{\frac{19}{11}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{12}{11}$ mit $\frac{8}{11 x^{\frac{19}{11}}}$ .

$- \frac{12 \cdot 8}{11 (11 x^{\frac{19}{11}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$- \frac{96}{11 (11 x^{\frac{19}{11}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{4}{11}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{11}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{96}{121}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{19}{11}}}]$ .

$- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{19}{11}}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{19}{11}}}$ als ${(x^{\frac{19}{11}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{19}{11}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{19}{11}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{11} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{19}{11} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{19}{11}$ und $- 1$ .

$- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [x^{\frac{19 \cdot - 1}{11}}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 19}{11}}]$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{96}{121} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{19}{11}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{19}{11}$ .

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{- \frac{19}{11} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{- \frac{19}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{- \frac{19}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{\frac{- 19 - 1 \cdot 11}{11}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{\frac{- 19 - 11}{11}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $11$ von $- 19$ .

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{\frac{- 30}{11}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{96}{121} (- \frac{19}{11} x^{- \frac{30}{11}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{30}{11}}$ und $\frac{19}{11}$ .

$- \frac{96}{121} (- \frac{x^{- \frac{30}{11}} \cdot 19}{11})$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{96}{121}) \frac{x^{- \frac{30}{11}} \cdot 19}{11}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{96}{121}$ mit $1$ .

$\frac{96}{121} \cdot \frac{x^{- \frac{30}{11}} \cdot 19}{11}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $\frac{96}{121}$ mit $\frac{x^{- \frac{30}{11}} \cdot 19}{11}$ .

$\frac{96 (x^{- \frac{30}{11}} \cdot 19)}{121 \cdot 11}$

Schritt 3.12

Multipliziere.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $19$ mit $96$ .

$\frac{1824 x^{- \frac{30}{11}}}{121 \cdot 11}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $121$ mit $11$ .

$\frac{1824 x^{- \frac{30}{11}}}{1331}$

Schritt 3.12.3

Bringe $x^{- \frac{30}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{1824}{1331 x^{\frac{30}{11}}}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1824}{1331 x^{\frac{30}{11}}}$ .

$\frac{1824}{1331 x^{\frac{30}{11}}}$