Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.9

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 1.10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.11

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.15

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 1.17

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.17.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.17.3

Kombiniere $\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.17.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.19

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.20

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.21

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.21.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.21.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.21.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.23

Um ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.25

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.25.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.25.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.25.3

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.25.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.26

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.27

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.28

Addiere $0$ und $1$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.29

Schreibe $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ als ein Produkt um.

$4 (\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1})$

Schritt 2.30

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Schritt 2.31

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 1$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.31.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.31.1.1

Potenziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 2.31.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.31.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.31.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.31.4

Addiere $1$ und $2$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.32

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ als ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 3.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.8

Kombiniere ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$4 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.9.2

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ und $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{- 12}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.17

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 3.18

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.18.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

Schritt 3.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Schritt 3.18.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Schritt 3.18.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Schritt 3.18.5

Kombiniere $\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.18.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$