Analysis Beispiele

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 a^{3 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = a$ und $g = 3 x$ ist.

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 1.3.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $9 \ln (a)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 a^{3 x} \ln (a)$ nach $x$ gleich $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = a$ und $g = 3 x$ ist.

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 2.4

Potenziere $\ln (a)$ mit $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Schritt 2.5

Potenziere $\ln (a)$ mit $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $27 \ln^{2} (a)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ nach $x$ gleich $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Schritt 3.2

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = a$ und $g = 3 x$ ist.

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Schritt 3.4

Potenziere $\ln (a)$ mit $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Schritt 3.6

Addiere $2$ und $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Schritt 3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ .

$81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$