Analysis Beispiele

$h (t) = \sqrt[7]{t} - 7 e^{t}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[7]{t} - 7 e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{t}$ als $t^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{t}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} - 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} - 7 e^{t}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} - 7 e^{t}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ .

$f' (t) = \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} - 7 e^{t}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} - 7 e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ als ${(t^{\frac{6}{7}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{6}{7}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{\frac{6}{7}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{\frac{6}{7}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{6}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{6}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{6}{7}}$ .

$\frac{1}{7} (- {(t^{\frac{6}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{6}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{1}{7} (- {(t^{\frac{6}{7}})}^{- 2} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{6}{7}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (- t^{\frac{6}{7} \cdot - 2} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere $\frac{6}{7} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{6}{7}$ und $- 2$ .

$\frac{1}{7} (- t^{\frac{6 \cdot - 2}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{7} (- t^{\frac{- 12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{6 - 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $7$ von $6$ .

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{\frac{- 1}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} (\frac{6}{7} t^{- \frac{1}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{6}{7}$ und $t^{- \frac{1}{7}}$ .

$\frac{1}{7} (- t^{- \frac{12}{7}} \frac{6 t^{- \frac{1}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{6 t^{- \frac{1}{7}}}{7}$ und $t^{- \frac{12}{7}}$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{6 t^{- \frac{1}{7}} t^{- \frac{12}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $t^{- \frac{1}{7}}$ mit $t^{- \frac{12}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Bewege $t^{- \frac{12}{7}}$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{6 (t^{- \frac{12}{7}} t^{- \frac{1}{7}})}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{7} (- \frac{6 t^{- \frac{12}{7} - \frac{1}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} (- \frac{6 t^{\frac{- 12 - 1}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 12$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{6 t^{\frac{- 13}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} (- \frac{6 t^{- \frac{13}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.14

Bringe $t^{- \frac{13}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{7 t^{\frac{13}{7}}}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{6}{7 t^{\frac{13}{7}}}$ .

$- \frac{6}{7 (7 t^{\frac{13}{7}})} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{t}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}} - 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (t) = - \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}} - 7 e^{t}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}} - 7 e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{6}{49}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{49 t^{\frac{13}{7}}}$ nach $t$ gleich $- \frac{6}{49} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{13}{7}}}]$ .

$- \frac{6}{49} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{13}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{t^{\frac{13}{7}}}$ als ${(t^{\frac{13}{7}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{6}{49} \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{13}{7}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{\frac{13}{7}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{\frac{13}{7}}$ .

$- \frac{6}{49} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{13}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{6}{49} (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{13}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{13}{7}}$ .

$- \frac{6}{49} (- {(t^{\frac{13}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{13}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{13}{7}$ .

$- \frac{6}{49} (- {(t^{\frac{13}{7}})}^{- 2} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{13}{7}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{\frac{13}{7} \cdot - 2} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $\frac{13}{7} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{13}{7}$ und $- 2$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{\frac{13 \cdot - 2}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.5.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $- 2$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{\frac{- 26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13 - 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{13 - 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $7$ von $13$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} (\frac{13}{7} t^{\frac{6}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.10

Kombiniere $\frac{13}{7}$ und $t^{\frac{6}{7}}$ .

$- \frac{6}{49} (- t^{- \frac{26}{7}} \frac{13 t^{\frac{6}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{13 t^{\frac{6}{7}}}{7}$ und $t^{- \frac{26}{7}}$ .

$- \frac{6}{49} (- \frac{13 t^{\frac{6}{7}} t^{- \frac{26}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.12

Multipliziere $t^{\frac{6}{7}}$ mit $t^{- \frac{26}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.12.1

Bewege $t^{- \frac{26}{7}}$ .

$- \frac{6}{49} (- \frac{13 (t^{- \frac{26}{7}} t^{\frac{6}{7}})}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6}{49} (- \frac{13 t^{- \frac{26}{7} + \frac{6}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{6}{49} (- \frac{13 t^{\frac{- 26 + 6}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.12.4

Addiere $- 26$ und $6$ .

$- \frac{6}{49} (- \frac{13 t^{\frac{- 20}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{49} (- \frac{13 t^{- \frac{20}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.13

Bringe $t^{- \frac{20}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6}{49} (- \frac{13}{7 t^{\frac{20}{7}}}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{6}{49}) \frac{13}{7 t^{\frac{20}{7}}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $\frac{6}{49}$ mit $1$ .

$\frac{6}{49} \cdot \frac{13}{7 t^{\frac{20}{7}}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.16

Mutltipliziere $\frac{6}{49}$ mit $\frac{13}{7 t^{\frac{20}{7}}}$ .

$\frac{6 \cdot 13}{49 (7 t^{\frac{20}{7}})} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.17

Mutltipliziere $6$ mit $13$ .

$\frac{78}{49 (7 t^{\frac{20}{7}})} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.2.18

Mutltipliziere $7$ mit $49$ .

$\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{t}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}} - 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (t) = \frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}} - 7 e^{t}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}} - 7 e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $\frac{78}{343}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{78}{343 t^{\frac{20}{7}}}$ nach $t$ gleich $\frac{78}{343} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{20}{7}}}]$ .

$\frac{78}{343} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{20}{7}}}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{1}{t^{\frac{20}{7}}}$ als ${(t^{\frac{20}{7}})}^{- 1}$ um.

$\frac{78}{343} \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{20}{7}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{\frac{20}{7}}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{\frac{20}{7}}$ .

$\frac{78}{343} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{20}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{78}{343} (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{20}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{20}{7}}$ .

$\frac{78}{343} (- {(t^{\frac{20}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{20}{7}}]) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{20}{7}$ .

$\frac{78}{343} (- {(t^{\frac{20}{7}})}^{- 2} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{20}{7}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{78}{343} (- t^{\frac{20}{7} \cdot - 2} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.5.2

Multipliziere $\frac{20}{7} \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{20}{7}$ und $- 2$ .

$\frac{78}{343} (- t^{\frac{20 \cdot - 2}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.5.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$\frac{78}{343} (- t^{\frac{- 40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} - 1})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20 - 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{20 - 7}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.9.2

Subtrahiere $7$ von $20$ .

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} (\frac{20}{7} t^{\frac{13}{7}})) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.10

Kombiniere $\frac{20}{7}$ und $t^{\frac{13}{7}}$ .

$\frac{78}{343} (- t^{- \frac{40}{7}} \frac{20 t^{\frac{13}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.11

Kombiniere $\frac{20 t^{\frac{13}{7}}}{7}$ und $t^{- \frac{40}{7}}$ .

$\frac{78}{343} (- \frac{20 t^{\frac{13}{7}} t^{- \frac{40}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.12

Multipliziere $t^{\frac{13}{7}}$ mit $t^{- \frac{40}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.12.1

Bewege $t^{- \frac{40}{7}}$ .

$\frac{78}{343} (- \frac{20 (t^{- \frac{40}{7}} t^{\frac{13}{7}})}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{78}{343} (- \frac{20 t^{- \frac{40}{7} + \frac{13}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{78}{343} (- \frac{20 t^{\frac{- 40 + 13}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.12.4

Addiere $- 40$ und $13$ .

$\frac{78}{343} (- \frac{20 t^{\frac{- 27}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{78}{343} (- \frac{20 t^{- \frac{27}{7}}}{7}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.13

Bringe $t^{- \frac{27}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{78}{343} (- \frac{20}{7 t^{\frac{27}{7}}}) + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $\frac{78}{343}$ mit $\frac{20}{7 t^{\frac{27}{7}}}$ .

$- \frac{78 \cdot 20}{343 (7 t^{\frac{27}{7}})} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.15

Mutltipliziere $78$ mit $20$ .

$- \frac{1560}{343 (7 t^{\frac{27}{7}})} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.2.16

Mutltipliziere $7$ mit $343$ .

$- \frac{1560}{2401 t^{\frac{27}{7}}} + \frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 7 e^{t}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{t}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$- \frac{1560}{2401 t^{\frac{27}{7}}} - 7 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f^{4} (t) = - \frac{1560}{2401 t^{\frac{27}{7}}} - 7 e^{t}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $h (t)$ nach $t$ ist $- \frac{1560}{2401 t^{\frac{27}{7}}} - 7 e^{t}$ .

$- \frac{1560}{2401 t^{\frac{27}{7}}} - 7 e^{t}$