Analysis Beispiele

$f (x) = π - \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - \sqrt[3]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.2.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Schritt 2.12.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Schritt 2.12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{2}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ als ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{3}$ .

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{8}{3}}$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{2}{9} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$- \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

Schritt 3.11

Multipliziere.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

Schritt 3.11.3

Bringe $x^{- \frac{8}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- \frac{10}{27}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ .

$- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ als ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 8}{3}}]$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{27} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{8}{3}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{8}{3}$ .

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 8$ .

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{27} (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{11}{3}}$ und $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{10}{27} (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

Schritt 4.10

Multipliziere.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{10}{27}) \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $\frac{10}{27}$ mit $1$ .

$\frac{10}{27} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{10}{27}$ mit $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ .

$\frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $8$ mit $10$ .

$\frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$\frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

Schritt 4.12.3

Bringe $x^{- \frac{11}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$ .

$\frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$