Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \tan (x) + 2 \cot (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \tan (x) + 2 \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \tan (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cot (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 (- \csc^{2} (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sec^{2} (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$3 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Schritt 2.3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Schritt 2.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Schritt 2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sec^{2} (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.6.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.7

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.8

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.11

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.12

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc^{2} (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 3.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 3.3.5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.6

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.6.1

Bewege $\csc^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.6.3

Addiere $2$ und $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\csc^{4} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.8

Schreibe $- 1 \csc^{4} (x)$ als $- \csc^{4} (x)$ um.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))))$

Schritt 3.3.10

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)))$

Schritt 3.3.11

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)))$

Schritt 3.3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)))$

Schritt 3.3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)))$

Schritt 3.3.14

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Schritt 3.3.15

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Schritt 3.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sec^{4} (x) + 6 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sec^{4} (x) + 6 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x)) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x)) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 4 \csc^{4} (x) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 4 \csc^{4} (x) - 8 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x)$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) + 6 \sec^{4} (x) - 4 \csc^{4} (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) + 6 \sec^{4} (x) - 4 \csc^{4} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.2

$12 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.6

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.7

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$12 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{4} (x)$ .

$12 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.9

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.10

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.13

Multipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $\tan (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.13.1

Bewege $\tan (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.13.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $\tan^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.13.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.13.3

Addiere $1$ und $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan^{3} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot^{2} (x)$ und $g (x) = \csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (x)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.5.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.6

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.8

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.9

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.12

Multipliziere $\cot^{2} (x)$ mit $\cot (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.12.1

Bewege $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.12.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $\cot^{2} (x)$ .

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Schritt 4.3.12.2.1

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.12.3

Addiere $1$ und $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.14

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.14.1

Bewege $\csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.14.3

Addiere $2$ und $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)]$ .

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Schritt 4.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sec^{4} (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 4.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $\sec (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ gleich $n {u_{5}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.2.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $\sec (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $3$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$ .

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Schritt 4.5.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \csc^{4} (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{6}$ durch $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ gleich $n {u_{6}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 {u_{6}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.5.2.3

Ersetze alle $u_{6}$ durch $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.5.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 4.5.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Schritt 4.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Schritt 4.5.7

Addiere $1$ und $3$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Schritt 4.5.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.3.5

Addiere $24 \sec^{4} (x) \tan (x)$ und $24 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.6.3.6

Addiere $16 \csc^{4} (x) \cot (x)$ und $16 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$