Analysis Beispiele

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 - x)}^{2}$ als $(1 - x) (1 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(1 - x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 + 2 x$

Schritt 1.11

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x - 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 2$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 0$

Schritt 4

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $0$ .

$0$