Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{(- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1] - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x (- 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + 0) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.12

Addiere $- 27 x^{2} + 8 x - 5$ und $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 27 x \cdot x^{2} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x^{1}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 27 x^{2 + 1} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x \cdot x + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 \cdot x - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Addiere $- 27 x^{3}$ und $9 x^{3}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 18 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (18 x^{3}) + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2})$ heraus.

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.9

Schreibe $- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ als $- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ um.

$\frac{- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}] + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 x^{3} - 4 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{3}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{2} (18 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{x^{2} (18 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + 0) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.10

Addiere $54 x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ heraus.

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Schritt 2.3.12.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (54 x^{2} - 8 x)$ heraus.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ heraus.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))$ heraus.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$ und $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{54 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{54 (x^{2} x) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.7.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{54 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{54 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{54 x^{3} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{54 x^{3} - 8 x \cdot x - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 (x \cdot x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2$ .

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Schritt 2.7.3.2.1

Addiere $- 8 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} + 0 - 2}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.2.2

Addiere $54 x^{3} - 36 x^{3}$ und $0$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Schritt 2.7.3.3

Subtrahiere $36 x^{3}$ von $54 x^{3}$ .

$- \frac{18 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 (9 x^{3}) - 2}{x^{3}}$

Schritt 2.7.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.7.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{3}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + 0) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.7

Addiere $27 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2}) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 2 \frac{x^{2} x^{3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \frac{x^{2 + 3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $2$ und $3$ .

$- 2 \frac{x^{5} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Bringe $27$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$- 2 \frac{27 \cdot x^{5} - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - (9 x^{3} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (27 x^{5} + (- 3 (9 x^{3}) - 3 \cdot - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3}) x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (27 x^{5}) + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.4.1.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 (x^{2} x^{3}))) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{2 + 3})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{5})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 27 x^{5}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.2

Subtrahiere $54 x^{5}$ von $54 x^{5}$ .

$- \frac{0 + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.8.4.3

Addiere $0$ und $6 x^{2}$ .

$- \frac{6 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 3.8.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{6}}$

Schritt 3.8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$24 x^{- 5}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{24}{x^{5}}$ .

$\frac{24}{x^{5}}$