Analysis Beispiele

$\frac{y^{2} + 6 y + 9}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{y^{2} + 6 y + 3^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 3$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3

$\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C y + D}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2} {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y + 3)}^{2} {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere ${(y + 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.5.2

Schreibe ${(y + 3)}^{2}$ als $(y + 3) (y + 3)$ um.

$(y + 3) (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.6

Multipliziere $(y + 3) (y + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (y + 3) + 3 (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.7.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.7.2

Addiere $3 y$ und $3 y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

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Schritt 1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + 6 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.8.1.2

Dividiere $A y + B$ durch $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(y^{2} + 9)}^{2}$ und $y^{2} + 9$ .

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $y^{2} + 9$ aus $(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{y^{2} + 9}$

Schritt 1.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{(y^{2} + 9) \cdot 1}$

Schritt 1.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{(y^{2} + 9) \cdot 1}$

Schritt 1.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(C y + D) (y^{2} + 9)}{1}$

Schritt 1.8.2.2.4

Dividiere $(C y + D) (y^{2} + 9)$ durch $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + (C y + D) (y^{2} + 9)$

Schritt 1.8.3

Multipliziere $(C y + D) (y^{2} + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y (y^{2} + 9) + D (y^{2} + 9)$

Schritt 1.8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y \cdot y^{2} + C y \cdot 9 + D (y^{2} + 9)$

Schritt 1.8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y \cdot y^{2} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Schritt 1.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.4.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.4.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C (y^{2} y) + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Schritt 1.8.4.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.8.4.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C (y^{2} y) + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Schritt 1.8.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{2 + 1} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Schritt 1.8.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Schritt 1.8.4.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $C y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + 9 \cdot (C y) + D y^{2} + D \cdot 9$

Schritt 1.8.4.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $D$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + 9 C y + D y^{2} + 9 D$

Schritt 1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.9.1

Bewege $B$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + C y^{3} + 9 C y + D y^{2} + B + 9 D$

Schritt 1.9.2

Bewege $9 C y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + C y^{3} + D y^{2} + 9 C y + B + 9 D$

Schritt 1.9.3

Bewege $A y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = C y^{3} + D y^{2} + A y + 9 C y + B + 9 D$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = A + 9 C$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $y$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$9 = B + 9 D$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe die Gleichung als $D = 1$ um.

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3.2.2

Ersetze alle $C$ in $6 = A + 9 C$ durch $0$ .

$6 = A + 9 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache $A + 9 (0)$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3.2.3.1.2

Addiere $A$ und $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 6$ um.

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Schritt 3.3.2

Ersetze alle $D$ in $9 = B + 9 D$ durch $1$ .

$9 = B + 9 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Schritt 3.4

Löse in $9 = B + 9$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $B + 9 = 9$ um.

$B + 9 = 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 9 - 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 0 A = 6 D = 1 C = 0$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 0, A = 6, D = 1, C = 0$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C y + D}{y^{2} + 9}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{6 y + 0}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 y + 1}{y^{2} + 9}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $(6) \cdot y$ und $0$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot y + 1}{y^{2} + 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 + 1}{y^{2} + 9}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{1}{y^{2} + 9}$