Analysis Beispiele

$\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x^{2} - 3} - x > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x^{2} - 3} > x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x^{2} - 3}}^{2} > x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 3}$ als ${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 3)}^{1} > x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 3 > x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 3 - x^{2} > 0$

Schritt 2.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 - x^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$0 - 3 > 0$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3 > 0$

Schritt 2.4.2

Da $- 3 < 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 3$

Schritt 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Schreibe $| x | \geq \sqrt{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \sqrt{3}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq \sqrt{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 4.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 4.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$x \leq - \sqrt{3}$

Schritt 4.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \sqrt{3}$ oder $x \geq \sqrt{3}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Schritt 6