Analysis Beispiele

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{1}{50}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{50}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ mit $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{50}$ und $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

Schritt 1.1.3.4.2

Kombiniere $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ und $x$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

Schritt 1.1.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $50$ .

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Schritt 1.1.3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ heraus.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

Schritt 1.1.3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.1.3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.1.3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ um.

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ um.

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{25}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.2.4.1

Da $- \frac{1}{50}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{50}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ und $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ und $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $50$ .

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Schritt 1.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ heraus.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Schritt 1.2.11

Vereinfache.

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Schritt 1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Schritt 1.2.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.11.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Schritt 1.2.11.2.2

Mutltipliziere $25$ mit $25$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Schritt 1.2.11.2.3

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 5, 5$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $50$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ ermittelt werden kann, ist $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.3

Ersetze $5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $50$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ ermittelt werden kann, ist $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Bringe $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 5.1$ mit $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 5.1$ mit $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.4

Dividiere $26.01$ durch $50$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.5

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.6

Potenziere $2.71828182$ mit $0.5202$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.7

Mutltipliziere $625$ mit $1.68236408$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.8

Dividiere $26.01$ durch $1051.47755554$ .

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.02473661$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 5.2.1.10

Bringe $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

Schritt 5.2.1.11

Potenziere $- 5.1$ mit $2$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Schritt 5.2.1.12

Dividiere $26.01$ durch $50$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 0.02473661$ und $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Schritt 5.3

Bei $- 5.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00096055$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 5)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 5)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, 5)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.2.2

Dividiere $0$ durch $50$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.4

Dividiere $0$ durch $625$ .

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

Schritt 6.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.7.1

Dividiere $0$ durch $50$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

Schritt 6.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

Schritt 6.2.1.7.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{25}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1}{25}$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $0.04$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 5, 5)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 5, 5)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5.1$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Bringe $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $5.1$ mit $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $5.1$ mit $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.4

Dividiere $26.01$ durch $50$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.5

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.6

Potenziere $2.71828182$ mit $0.5202$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $625$ mit $1.68236408$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.8

Dividiere $26.01$ durch $1051.47755554$ .

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.02473661$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Schritt 7.2.1.10

Bringe $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

Schritt 7.2.1.11

Potenziere $5.1$ mit $2$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Schritt 7.2.1.12

Dividiere $26.01$ durch $50$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 0.02473661$ und $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Schritt 7.3

Bei $5.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00096055$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(5, \infty)$

Abfallend im Intervall $(5, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 9