Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.3.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 1.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 1.2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 1.2.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 1.2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 1.2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 1.2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 1.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 1.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 1.2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 1.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 1.2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 1.2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 1.2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 1.2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 1.2.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 1.2.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 1.2.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 1.2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x + 1 (\frac{2}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.2.2.16

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$2 x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.2.2.17

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 1.2.2.18

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ mit $9 x^{\frac{4}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ mit $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{4}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x^{1}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4 + 3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.5

Addiere $4$ und $3$ .

$2 \cdot 9 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{4}{3}}$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{\frac{7}{3}} = - 2$

Schritt 2.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{7}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $18 x^{\frac{7}{3}}$ an.

$18^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$18^{\frac{3}{7}} x^{1} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache.

$18^{\frac{3}{7}} x = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.4

Stelle die Faktoren in $18^{\frac{3}{7}} x$ um.

$x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ durch $18^{\frac{3}{7}}$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ durch $18^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Schritt 2.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ an.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kombinieren.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1 {({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(18^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Multipliziere $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Multipliziere $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.2.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ an.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$

Schritt 3.1.2.2

Um $- \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ mit $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}$

Schritt 3.1.2.3.2

Multipliziere $18^{\frac{2}{7}}$ mit $18^{\frac{7}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.3.2.1

Bewege $18^{\frac{7}{7}}$ .

Schritt 3.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 3.1.2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{7 + 2}{7}} \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.3.2.4

Addiere $7$ und $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{9}{7}} \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $18^{\frac{9}{7}} \cdot 3$ um.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18)}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.5.2

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.5.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) \cup (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.48997693$ .

$f'' (- 0.48997693) = 2 (- 0.48997693) + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.48997693$ .

$f'' (- 0.48997693) = - 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.3

Bei $- 0.48997693$ , die zweite Ableitung ist $- 0.40466412$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.28997693$ .

$f'' (- 0.28997693) = 2 (- 0.28997693) + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.28997693$ .

$f'' (- 0.28997693) = - 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6.3

Bei $- 0.28997693$ ist die zweite Ableitung $0.57785322$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ .

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Schritt 8