Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{3}{32}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{32} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{32} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{32}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{6}{32}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $32$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2 (16)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 x^{- 3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $\frac{3}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{16}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{16} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{16}$ mit $1$ .

$\frac{3}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 1.2.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 1.2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 1.2.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.2.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{3}{16} - 24 x^{- 4}$

Schritt 1.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{16} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.5.1.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{16} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Schritt 1.2.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{16} - \frac{24}{x^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{3}{16}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{4}, 16$

Schritt 2.3.2

Da $x^{4}, 16$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 16$ und anschließend für den variablen Teil $x^{4}$ .

Schritt 2.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.3.5

Die Primfaktoren von $16$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.5.1

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 8$

Schritt 2.3.5.2

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 2.3.5.3

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2$

Schritt 2.3.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16$

Schritt 2.3.7

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 2.3.8

Das kgV von $x^{4}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 2.3.9

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Schritt 2.3.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.9.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 2.3.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Schritt 2.3.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Schritt 2.3.9.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.9.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.9.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Schritt 2.3.9.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1}$

Schritt 2.3.9.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4}$

Schritt 2.3.10

Das kgV von $x^{4}, 16$ ist der numerische Teil $16$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$16 x^{4}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ mit $16 x^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ mit $16 x^{4}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{24}{x^{4}}$ in den Zähler.

$\frac{- 24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.2.1.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 24 \cdot 16 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $16$ .

$- 384 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.3.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 (x^{4}))$

Schritt 2.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Schritt 2.4.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 384 = - 3 x^{4}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{4} = - 384$ um.

$- 3 x^{4} = - 384$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} = - 384$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} = - 384$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{- 384}{- 3}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $- 384$ durch $- 3$ .

$x^{4} = 128$

Schritt 2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{128}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{128}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $128$ als $2^{4} \cdot 8$ um.

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Schritt 2.5.4.1.1

Faktorisiere $16$ aus $128$ heraus.

$x = \pm \sqrt[4]{16 (8)}$

Schritt 2.5.4.1.2

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{4} \cdot 8}$

Schritt 2.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt[4]{8}$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt[4]{8}$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt[4]{8}$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt[4]{8}, - 2 \sqrt[4]{8}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[4]{8}$ an.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ als $\sqrt{8}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{8}$ als $8^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.1.5

Schreibe $8^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{8}$ um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[4]{8}$ an.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.8.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3

Schreibe ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ als $\sqrt{8}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.8.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{8}$ als $8^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.8.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.8.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.2.1.8.3.5

Schreibe $8^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{8}$ um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Schritt 3.1.2.1.8.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.8.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 3.1.2.1.8.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.1.8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.1.8.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Schritt 3.1.2.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt{2}$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Schritt 3.1.2.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Schritt 3.1.2.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.1.2.1.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.2.1.11.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.1.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.1.11.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.1.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.1.2.1.11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.11.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.1.11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.2.1.11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.2.1.11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.1.11.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.1.2.1.13

Schreibe $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ als $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $3 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.1.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ ermittelt werden kann, ist $(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt[4]{8}$ an.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot ({(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ als $\sqrt{8}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{8}$ als $8^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.5.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.5

Schreibe $8^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{8}$ um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Schritt 3.3.2.1.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt[4]{8}$ an.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3

Schreibe ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ als $\sqrt{8}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.8.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{8}$ als $8^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.8.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.8.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.2.1.8.3.5

Schreibe $8^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{8}$ um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Schritt 3.3.2.1.8.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.8.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 3.3.2.1.8.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.1.8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.2.1.8.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Schritt 3.3.2.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Schritt 3.3.2.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Schritt 3.3.2.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3.2.1.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.2.1.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.2.1.11.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.2.1.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.2.1.11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.2.1.11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.2.1.11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.2.1.11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.11.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.13

Schreibe $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ als $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $3 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.3.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8}) \cup (- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8}) \cup (2 \sqrt[4]{8}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.46358566$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{{(- 3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.46358566$ mit $4$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $24$ durch $143.91422792$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.16676599$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Schritt 5.2.2

Um $- 0.16676599$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $- 0.16676599$ und $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 0.16676599$ mit $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $- 2.66825598$ und $3$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Schritt 5.2.5

Dividiere $0.33174401$ durch $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = 0.020734$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.020734$ .

$0.020734$

Schritt 5.3

Bei $- 3.46358566$ ist die zweite Ableitung $0.020734$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{{(0)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Schritt 6.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{0} + \frac{3}{16}$

Schritt 6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f'' (0) = Undefined$

Schritt 6.4

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $N a N$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$

Abfallend im Intervall $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.46358566$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{{(3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.46358566$ mit $4$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $24$ durch $143.91422792$ .

$f'' (3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.16676599$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Schritt 7.2.2

Um $- 0.16676599$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.3.1

Kombiniere $- 0.16676599$ und $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $- 0.16676599$ mit $16$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Schritt 7.2.4.2

Addiere $- 2.66825598$ und $3$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Schritt 7.2.5

Dividiere $0.33174401$ durch $16$ .

$f'' (3.46358566) = 0.020734$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.020734$ .

$0.020734$

Schritt 7.3

Bei $3.46358566$ ist die zweite Ableitung $0.020734$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 9