Analysis Beispiele

$g (x) = 2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$8 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x^{3} + 24 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 x^{3} + 24 x$ und $0$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 24 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} + 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x^{2} + 24 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 24$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $24 x^{2} + 24$ .

$24 x^{2} + 24$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{2} + 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 x^{2} = - 24$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{2} = - 24$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{2} = - 24$ durch $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 24}{24}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 24$ durch $24$ .

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.5

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte