Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.4.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.1.1.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.2

Subtrahiere $8 x^{6}$ von $6 x^{6}$ .

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.6.5.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 2 x^{6}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ heraus.

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.7

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.9

Schreibe $- (x^{4} - 3)$ als $- 1 (x^{4} - 3)$ um.

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.2.2

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Differenziere.

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Schritt 1.2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Schritt 1.2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.8.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.9.2

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ heraus.

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Schritt 1.2.9.2.1

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.9.2.2

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.9.2.3

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.10.1

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus ${(x^{4} + 1)}^{4}$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.14.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.14.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.15

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.15.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.15.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.18.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.18.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.18.5.1.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.18.5.1.1.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.2.18.5.1.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.1.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.2

Addiere $4 x^{5}$ und $2 x^{5}$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.3

Multipliziere $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.18.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.18.5.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.18.5.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.18.5.1.4.1.2.1

Bewege $x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.2.3

Addiere $5$ und $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.18.5.1.4.1.4.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.4.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.5

Mutltipliziere $6 x^{5}$ mit $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 6 x$ mit $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.2

Addiere $- 6 x^{5}$ und $6 x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.4.3

Addiere $6 x^{9}$ und $0$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.8

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.18.5.1.8.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.8.3

Addiere $4$ und $5$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.1.11

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5.2

Subtrahiere $16 x^{9}$ von $12 x^{9}$ .

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.18.6.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ heraus.

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Schritt 1.2.18.6.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{9}$ heraus.

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $48 x^{5}$ heraus.

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ heraus.

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ heraus.

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{8}$ heraus.

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.8

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x^{4}$ heraus.

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ heraus.

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.10

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ heraus.

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.12

Schreibe $- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ als $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ um.

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.15

Mutltipliziere $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.16

Stelle die Faktoren in $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.85122502$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $- 1.85122502$ mit $3$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $- 1.85122502$ mit $4$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $11.74456266$ und $1$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6.34421126$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

Schritt 3.1.2.3.2

Dividiere $- 12.68842253$ durch $12.74456266$ .

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.99559497$ .

$- 0.99559497$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.7109206$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $- 0.7109206$ mit $3$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Potenziere $- 0.7109206$ mit $4$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $0.25543735$ und $1$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.35930503$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

Schritt 3.3.2.3.2

Dividiere $- 0.71861007$ durch $1.25543735$ .

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

Schritt 3.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.57239819$ .

$- 0.57239819$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

Schritt 3.5

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.7

Ersetze $0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.7109206$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1

Potenziere $0.7109206$ mit $3$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.2.1

Potenziere $0.7109206$ mit $4$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Schritt 3.7.2.2.2

Addiere $0.25543735$ und $1$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.35930503$ .

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

Schritt 3.7.2.3.2

Dividiere $0.71861007$ durch $1.25543735$ .

$f (0.7109206) = 0.57239819$

Schritt 3.7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.57239819$ .

$0.57239819$

Schritt 3.8

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0.7109206, 0.57239819)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.7109206, 0.57239819)$

Schritt 3.9

Ersetze $1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.85122502$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1

Potenziere $1.85122502$ mit $3$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

Schritt 3.9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.2.1

Potenziere $1.85122502$ mit $4$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Schritt 3.9.2.2.2

Addiere $11.74456266$ und $1$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

Schritt 3.9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $6.34421126$ .

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

Schritt 3.9.2.3.2

Dividiere $12.68842253$ durch $12.74456266$ .

$f (1.85122502) = 0.99559497$

Schritt 3.9.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.99559497$ .

$0.99559497$

Schritt 3.10

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(1.85122502, 0.99559497)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1.85122502, 0.99559497)$

Schritt 3.11

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1.85122502)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 7.80490009$ mit ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.95122502$ mit $4$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $14.49537411$ und $1$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $15.49537411$ mit $3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

Schritt 5.2.3

Dividiere $- 305.72871822$ durch $3720.54188867$ .

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.08217316$ .

$- 0.08217316$

Schritt 5.3

Bei $- 1.95122502$ , die zweite Ableitung ist $- 0.08217316$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1.85122502)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1.85122502)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 5.12429125$ mit ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1.28107281$ mit $4$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $2.6933653$ und $1$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $3.6933653$ mit $3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $113.07346647$ durch $50.38100121$ .

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $2.24436719$ .

$2.24436719$

Schritt 6.3

Bei $- 1.28107281$ ist die zweite Ableitung $2.24436719$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.7109206, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1.4218412$ mit ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 0.3554603$ mit $4$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.01596483$ und $1$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $1.01596483$ mit $3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $- 3.9934925$ durch $1.0486632$ .

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 3.80817454$ .

$- 3.80817454$

Schritt 7.3

Bei $- 0.3554603$ , die zweite Ableitung ist $- 3.80817454$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 0.7109206, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 0.7109206, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 0.7109206)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $1.4218412$ mit ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Potenziere $0.3554603$ mit $4$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.01596483$ und $1$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $1.01596483$ mit $3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $3.9934925$ durch $1.0486632$ .

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $3.80817454$ .

$3.80817454$

Schritt 8.3

Bei $0.3554603$ ist die zweite Ableitung $3.80817454$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, 0.7109206)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, 0.7109206)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.7109206, 1.85122502)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $5.12429125$ mit ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $1.28107281$ mit $4$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $2.6933653$ und $1$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $3.6933653$ mit $3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $- 113.07346647$ durch $50.38100121$ .

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.24436719$ .

$- 2.24436719$

Schritt 9.3

Bei $1.28107281$ , die zweite Ableitung ist $- 2.24436719$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0.7109206, 1.85122502)$

Abfallend im Intervall $(0.7109206, 1.85122502)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1.85122502, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $7.80490009$ mit ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Potenziere $1.95122502$ mit $4$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $14.49537411$ und $1$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Schritt 10.2.2.3

Potenziere $15.49537411$ mit $3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

Schritt 10.2.3

Dividiere $305.72871822$ durch $3720.54188869$ .

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.08217316$ .

$0.08217316$

Schritt 10.3

Bei $1.95122502$ ist die zweite Ableitung $0.08217316$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1.85122502, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1.85122502, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 11

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ .

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Schritt 12