Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{5 x^{2} + 4}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7 x}{5 x^{2} + 4}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 4}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 4}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 5 x^{2} + 4$ .

$- 7 \frac{(5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 \frac{(5 x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $5 x^{2} + 4$ mit $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.8.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.8

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$- 7 \frac{- 5 x^{2} + 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $- 7$ und $\frac{- 5 x^{2} + 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11

Vereinfache.

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Schritt 1.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 7 \cdot 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.11.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$- \frac{- 35 x^{2} + 7 \cdot 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$- \frac{- 35 x^{2} + 28}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.3

Faktorisiere $7$ aus $- 35 x^{2} + 28$ heraus.

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Schritt 1.1.11.3.1

Faktorisiere $7$ aus $- 35 x^{2}$ heraus.

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 28}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.3.2

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 7 (4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.3.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (- 5 x^{2}) + 7 (4)$ heraus.

$- \frac{7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$- \frac{7 (- (5 x^{2}) + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.5

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$- \frac{7 (- (5 x^{2}) - 1 (- 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - 1 (- 4)$ heraus.

$- \frac{7 (- (5 x^{2} - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.7

Schreibe $- (5 x^{2} - 4)$ als $- 1 (5 x^{2} - 4)$ um.

$- \frac{7 (- 1 (5 x^{2} - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.11.10

Mutltipliziere $\frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} - 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} - 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}]$

Schritt 1.2.2

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{({(5 x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.7.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.7.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von ${(5 x^{2} + 4)}^{2}$ .

$7 \frac{10 \cdot {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 5 x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (2 (5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Differenziere.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x + 0))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.5.7.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.7.2.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) (10 \cdot (5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7.3

Kombiniere $7$ und $\frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$ .

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) ((5 x^{2} + 4) x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.4.1.1

Schreibe ${(5 x^{2} + 4)}^{2}$ als $(5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)$ um.

$\frac{7 (10 ((5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.2

Multipliziere $(5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.6.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2} + 4) + 4 (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.6.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.4.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.6.4.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 (x^{2} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{2 + 2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 20 x^{2} + 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.3.2

Addiere $20 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 40 x^{2} + 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 ((10 (25 x^{4}) + 10 (40 x^{2}) + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $10$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 10 (40 x^{2}) + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.5.2

Mutltipliziere $40$ mit $10$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 400 x^{2} + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.5.3

Mutltipliziere $10$ mit $16$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 400 x^{2} + 160) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (250 x^{4} x + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{7 (250 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{7 (250 (x^{1} x^{4}) + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 (250 x^{1 + 4} + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 (x^{1} x^{2}) + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{1 + 2} + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{3} + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (250 x^{5}) + 7 (400 x^{3}) + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.9.1

Mutltipliziere $250$ mit $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 7 (400 x^{3}) + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.9.2

Mutltipliziere $400$ mit $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.9.3

Mutltipliziere $160$ mit $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.10.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 4$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.11.1

Bewege $x$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 (x \cdot x^{2}) + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 (x^{1} x^{2}) + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{1 + 2} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.11.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.12

Multipliziere $(- 100 x^{2} + 80) (5 x^{3} + 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.6.4.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3} + 4 x) + 80 (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{2} x^{3} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 (x^{3} x^{2}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{3 + 2} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{5} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.3

Mutltipliziere $- 100$ mit $5$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{2} x + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{1 + 2} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{3} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.6

Mutltipliziere $- 100$ mit $4$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $80$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $80$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.2

Addiere $- 400 x^{3}$ und $400 x^{3}$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} + 0 + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.13.3

Addiere $- 500 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5}) + 7 (320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.15

Mutltipliziere $- 500$ mit $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x - 3500 x^{5} + 7 (320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.1.16

Mutltipliziere $320$ mit $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x - 3500 x^{5} + 2240 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.2

Subtrahiere $3500 x^{5}$ von $1750 x^{5}$ .

$\frac{- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 2240 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.4.3

Addiere $1120 x$ und $2240 x$ .

$\frac{- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.5.1

Faktorisiere $70 x$ aus $- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 3360 x$ heraus.

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Schritt 1.2.6.5.1.1

Faktorisiere $70 x$ aus $- 1750 x^{5}$ heraus.

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 2800 x^{3} + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.1.2

Faktorisiere $70 x$ aus $2800 x^{3}$ heraus.

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2}) + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.1.3

Faktorisiere $70 x$ aus $3360 x$ heraus.

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2}) + 70 x (48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.1.4

Faktorisiere $70 x$ aus $70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2})$ heraus.

$\frac{70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2}) + 70 x (48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.1.5

Faktorisiere $70 x$ aus $70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2}) + 70 x (48)$ heraus.

$\frac{70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2} + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{70 x (- 25 {(x^{2})}^{2} + 40 x^{2} + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + 40 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.6.5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 25 \cdot 48 = - 1200$ und deren Summe gleich $b = 40$ ist.

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Schritt 1.2.6.5.4.1.1

Faktorisiere $40$ aus $40 u$ heraus.

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + 40 (u) + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.4.1.2

Schreibe $40$ um als $- 20$ plus $60$

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + (- 20 + 60) u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{70 x (- 25 u^{2} - 20 u + 60 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.6.5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{70 x ((- 25 u^{2} - 20 u) + 60 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{70 x (5 u (- 5 u - 4) - 12 (- 5 u - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 u - 4$ .

$\frac{70 x ((- 5 u - 4) (5 u - 12))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.5.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{70 x (- 5 x^{2} - 4) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5 x^{2} - 4$ und ${(5 x^{2} + 4)}^{4}$ .

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Schritt 1.2.6.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{70 x (- (5 x^{2}) - 4) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.6.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{70 x (- (5 x^{2}) - 1 (4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{70 x (- (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.6.4

Schreibe $- (5 x^{2} + 4)$ als $- 1 (5 x^{2} + 4)$ um.

$\frac{70 x (- 1 (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.6.5

Faktorisiere $5 x^{2} + 4$ aus $70 x (- 1 (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)$ heraus.

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.2.6.6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.6.6.1

Faktorisiere $5 x^{2} + 4$ aus ${(5 x^{2} + 4)}^{4}$ heraus.

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{(5 x^{2} + 4) {(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{(5 x^{2} + 4) {(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$\frac{- 70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$70 x (5 x^{2} - 12) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $5 x^{2} - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $5 x^{2} - 12$ gleich $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $5 x^{2} - 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = 12$

Schritt 2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 12$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 12$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.3.3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

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Schritt 2.3.3.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ als $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.2.4.2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.3.3.2.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.3.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.3.3.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 2.3.3.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.3.3.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.2.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Schritt 2.3.3.2.4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.3.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.3.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.3.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $70 x (5 x^{2} - 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{- 7 \cdot 0}{5 {(0)}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{5 \cdot 0 + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 4}$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere $0$ und $4$ .

$f (0) = \frac{0}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \frac{2 \sqrt{15}}{5}}{5 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{15}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 3.3.2.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{25}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{25}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 (5)}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 \cdot 5}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{\frac{60}{5} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.6

Dividiere $60$ durch $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{12 + 4}$

Schritt 3.3.2.2.7

Addiere $12$ und $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{16}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Schritt 3.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- \frac{14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Schritt 3.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Schritt 3.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{14 \sqrt{15}}{5}$ in den Zähler.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Schritt 3.3.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 \sqrt{15}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Schritt 3.3.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 (8)}$

Schritt 3.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.3.2.6.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 3.3.2.7

Mutltipliziere $\frac{- 7 \sqrt{15}}{5}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{5 \cdot 8}$

Schritt 3.3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{40}$

Schritt 3.3.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Schritt 3.3.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7 \sqrt{15}}{40}$ .

$- \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Schritt 3.5

Ersetze $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $7$ und $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.1.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{15}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (1 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.2.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 3.5.2.2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{25}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{25}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 (5)}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 \cdot 5}) + 4}$

Schritt 3.5.2.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{\frac{60}{5} + 4}$

Schritt 3.5.2.2.8

Dividiere $60$ durch $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{12 + 4}$

Schritt 3.5.2.2.9

Addiere $12$ und $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{16}$

Schritt 3.5.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Schritt 3.5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Schritt 3.5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $14 \sqrt{15}$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Schritt 3.5.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 (8)}$

Schritt 3.5.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.5.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 3.5.2.6

Mutltipliziere $\frac{7 \sqrt{15}}{5}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{5 \cdot 8}$

Schritt 3.5.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Schritt 3.5.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{7 \sqrt{15}}{40}$ .

$\frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{70 (- 1.64919333) (5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $70$ mit $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 115.44353369 (5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 115.44353369$ mit $5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.64919333$ mit $2$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(5 \cdot 2.71983866 + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2.71983866$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(13.59919333 + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $13.59919333$ und $4$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{17.59919333}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $17.59919333$ mit $3$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{5451.02641994}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 184.61653005$ durch $5451.02641994$ .

$f'' (- 1.64919333) = 0.03386821$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.03386821$ .

$f'' (- 1.64919333) = 0.03386821$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.03386821$ .

$0.03386821$

Schritt 5.3

Bei $- 1.64919333$ ist die zweite Ableitung $0.03386821$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{70 (- 0.77459666) (5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $70$ mit $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{- 54.22176684 (5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 54.22176684$ mit $5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 0.77459666$ mit $2$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(5 \cdot 0.6 + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.6$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(3 + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{7^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{343}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $487.99590162$ durch $343$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 1 \cdot 1.42272857$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.42272857$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 1.42272857$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1.42272857$ .

$- 1.42272857$

Schritt 6.3

Bei $- 0.77459666$ , die zweite Ableitung ist $- 1.42272857$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{70 (0.77459666) (5 {(0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $70$ mit $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{54.22176684 (5 \cdot {0.77459666}^{2} - 12)}{{(5 \cdot {0.77459666}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $54.22176684$ mit $5 \cdot {0.77459666}^{2} - 12$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(5 \cdot {0.77459666}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $0.77459666$ mit $2$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(5 \cdot 0.6 + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.6$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(3 + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{7^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{343}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $- 487.99590162$ durch $343$ .

$f'' (0.77459666) = 1.42272857$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.42272857$ .

$f'' (0.77459666) = 1.42272857$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $1.42272857$ .

$1.42272857$

Schritt 7.3

Bei $0.77459666$ ist die zweite Ableitung $1.42272857$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{70 (1.64919333) (5 {(1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $70$ mit $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{115.44353369 (5 \cdot {1.64919333}^{2} - 12)}{{(5 \cdot {1.64919333}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $115.44353369$ mit $5 \cdot {1.64919333}^{2} - 12$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(5 \cdot {1.64919333}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $1.64919333$ mit $2$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(5 \cdot 2.71983866 + 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2.71983866$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(13.59919333 + 4)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $13.59919333$ und $4$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{17.59919333}^{3}}$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $17.59919333$ mit $3$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{5451.02641994}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $184.61653005$ durch $5451.02641994$ .

$f'' (1.64919333) = - 1 \cdot 0.03386821$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.03386821$ .

$f'' (1.64919333) = - 0.03386821$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.03386821$ .

$- 0.03386821$

Schritt 8.3

Bei $1.64919333$ , die zweite Ableitung ist $- 0.03386821$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Schritt 10