Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\sqrt{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x) - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = 0$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} = 0$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} = 0$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} = 0$

Schritt 2.2.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Schritt 2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}} = 0$

Schritt 2.2.6.5

Vereinfache.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = 0$

Schritt 3

Ermittle den Wert von $m$ unter Anwendung der Geradengleichung.

$y = m x + b$

Schritt 4

Setze den Wert von $b$ in die Gleichung ein.

$y = m x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Schritt 5

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Schritt 6

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$\frac{5}{2} = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Schritt 7

Ermittele den Wert von $m$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$ um.

$m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$ .

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $m$ .

$4 m + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $f$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 m + 4 f - \sqrt{2^{2}} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 m + 4 f - 1 \cdot 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{2^{2}}}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 (1)}{4} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 4 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 m + 4 f - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $m$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $4 f$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 m - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - 4 f$

Schritt 7.3.2

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 m = \frac{5}{2} - 4 f + \frac{5}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 m = - 4 f + \frac{5 + 5}{2}$

Schritt 7.3.4

Addiere $5$ und $5$ .

$4 m = - 4 f + \frac{10}{2}$

Schritt 7.3.5

Dividiere $10$ durch $2$ .

$4 m = - 4 f + 5$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $4 m = - 4 f + 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 m = - 4 f + 5$ durch $4$ .

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 7.4.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 f$ heraus.

$m = \frac{4 (- f)}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$m = \frac{4 (- f)}{4 (1)} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{4 (- f)}{4 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{- f}{1} + \frac{5}{4}$

Schritt 7.4.3.1.2.4

Dividiere $- f$ durch $1$ .

$m = - f + \frac{5}{4}$

Schritt 8

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = (- f + \frac{5}{4}) x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Schritt 9