Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(3, \sqrt{3})$

Schritt 1

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 1.1

Berechne $f (x) = \sqrt{x}$ bei $x = 3$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = \sqrt{3}$

Schritt 1.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 1.2

Da $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 2

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 3

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Schritt 4.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Schritt 6

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 7

Da es keine Werte links von $0$ im Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ gibt, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 8

Bestimme die Steigung $m$ . In diesem Fall: $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ .

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Schritt 8.1

Multipliziere $e$ mit $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Schritt 8.2

Entferne die Klammern.

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

Schritt 9

Die Steigung ist $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ und der Punkt ist $(3, \sqrt{3})$ .

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

$m = (3, \sqrt{3})$

Schritt 10

Multipliziere $e$ mit $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Schritt 11

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 11.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 11.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot x + b$

Schritt 11.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Schritt 11.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$\sqrt{3} = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Schritt 11.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 11.5.1

Schreibe die Gleichung als $D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$ um.

$D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.2.1

Multipliziere $o$ mit $o$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.5.2.1.1

Bewege $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.1.2

Mutltipliziere $o$ mit $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.2

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.5.2.2.1

Bewege $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.2.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.3

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.5.2.3.1

Bewege $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 \cdot e i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.5

Multipliziere $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 e i)$ .

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Schritt 11.5.2.5.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.5.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{1 + 1} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{2} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ .

$3 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = \sqrt{3}$

Schritt 11.5.3

Subtrahiere $9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Schritt 12

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 3 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Schritt 13