Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x + 3$ ; $(1, 10)$

Schritt 1

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 1.1

Berechne $f (x) = 7 x + 3$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 7 (1) + 3$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $7$ und $3$ .

$f (1) = 10$

Schritt 1.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 1.2

Da $10 = 10$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 2

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = 7 x + 3$

Schritt 3

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 7 (x + h) + 3$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 x + 7 h + 3$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $7 x + 7 h + 3$ .

$7 x + 7 h + 3$

Schritt 4.2

Stelle $7 x$ und $7 h$ um.

$7 h + 7 x + 3$

Schritt 4.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x + 3)}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x) - 1 \cdot 3}{h}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 1 \cdot 3}{h}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 3}{h}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $7 x$ von $7 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0 + 3 - 3}{h}$

Schritt 6.1.5

Addiere $7 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 3 - 3}{h}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0}{h}$

Schritt 6.1.7

Addiere $7 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$7$

Schritt 8

Die Steigung ist und der Punkt ist $(1, 10)$ .

$m = 7, (1, 10)$

Schritt 9

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 9.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 9.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (7) \cdot x + b$

Schritt 9.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (7) \cdot (1) + b$

Schritt 9.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$10 = (7) \cdot (1) + b$

Schritt 9.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 9.5.1

Schreibe die Gleichung als $(7) \cdot (1) + b = 10$ um.

$(7) \cdot (1) + b = 10$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + b = 10$

Schritt 9.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.5.3.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 10 - 7$

Schritt 9.5.3.2

Subtrahiere $7$ von $10$ .

$b = 3$

Schritt 10

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 7 x + 3$

Schritt 11