Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Schritt 2.2.2

Bewege $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Schritt 2.2.3

Stelle $4 h x$ und $2 h^{2}$ um.

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2} - 5 \sqrt{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2}) - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 0 - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Schritt 4.5

Addiere $2 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Schritt 5