Analysis Beispiele

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ nicht definiert ist.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

Schritt 2

Da $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ von links und $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{1}{2}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Da $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ von links und $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ von rechts, dann ist $x = \frac{1}{2}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Schritt 5

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Schritt 5.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Schritt 5.3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.4.2

Bewege $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.5.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.8.2

Multipliziere.

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Schritt 5.5.1.2.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1.2.8.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.8.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.8.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.2.9

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 5.5.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Schritt 5.5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Schritt 5.5.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x + 1$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.15

Addiere $2$ und $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.5.3.17.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3.5

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.17.3.7

Addiere $8 x$ und $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 5.5.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Schritt 5.5.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Schritt 5.5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Schritt 5.5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Schritt 5.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Schritt 5.5.4.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4}}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.6.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 6

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Schritt 6.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Schritt 6.3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 6.5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.5.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.4.2

Bewege $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.5.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.8.2

Multipliziere.

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Schritt 6.5.1.2.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.8.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1.2.8.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.8.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.8.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.2.9

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Schritt 6.5.1.3

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Schritt 6.5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Schritt 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 6.5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.2

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.15

Addiere $2$ und $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17

Vereinfache.

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Schritt 6.5.3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.5.3.17.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3.5

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.17.3.7

Addiere $8 x$ und $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 6.5.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache.

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Schritt 6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 6.5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Schritt 6.5.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Schritt 6.5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Schritt 6.5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Schritt 6.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Schritt 6.5.4.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4}}$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.6.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$2 \frac{1}{- \sqrt{4}}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.6.2.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4}}$

Schritt 6.6.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{4}})$

Schritt 6.6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.6.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}})$

Schritt 6.6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 6.6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 6.6.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1$

Schritt 7

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 1, - 1$

Schritt 8

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Horizontale Asymptoten: $y = 1, - 1$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 10