Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{\ln (x + 9)}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (x + 9)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x + 9 > 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - 9$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 25}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 25 \geq 0$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Addiere $25$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 25$

Schritt 1.4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{25}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{25}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{25}$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{5^{2}}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 5 |$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$| x | \geq 5$

Schritt 1.4.4

Schreibe $| x | \geq 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.4.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 5$

Schritt 1.4.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.4.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 5$

Schritt 1.4.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 5 & x \geq 0 \\ - x \geq 5 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.4.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 5$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 5$

Schritt 1.4.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.6.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x \leq - 5$

Schritt 1.4.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 5$ oder $x \geq 5$

Schritt 1.5

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{\ln (x + 9)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (x + 9) = 0$

Schritt 1.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.6.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x + 9)} = e^{0}$

Schritt 1.6.2

Schreibe $\ln (x + 9) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x + 9$

Schritt 1.6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.6.3.1

Schreibe die Gleichung als $x + 9 = e^{0}$ um.

$x + 9 = e^{0}$

Schritt 1.6.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x + 9 = 1$

Schritt 1.6.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.6.3.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - 9$

Schritt 1.6.3.3.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$x = - 8$

Schritt 1.7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 9, - 8) \cup (- 8, - 5] \cup [5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 9 < x \leq - 5, x \geq 5, x \neq - 8}$

Intervallschreibweise:

$(- 9, - 8) \cup (- 8, - 5] \cup [5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 9 < x \leq - 5, x \geq 5, x \neq - 8}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{\ln (x + 9)}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3