Analysis Beispiele

$f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\frac{x}{12})}^{15} d x$

Schritt 3

Sei $u = \frac{x}{12}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{12} d x$ , folglich $12 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{x}{12}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{x}{12}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $1$ .

$\frac{1}{12}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{15} \frac{1}{\frac{1}{12}} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{12}$ zu dividieren.

$\int u^{15} (1 \cdot 12) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\int u^{15} \cdot 12 d u$

Schritt 4.3

Bringe $12$ auf die linke Seite von $u^{15}$ .

$\int 12 u^{15} d u$

Schritt 5

Da $12$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int u^{15} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{15}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{16} u^{16}$ .

$12 (\frac{1}{16} u^{16} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $12 (\frac{1}{16} u^{16} + C)$ als $12 (\frac{1}{16}) u^{16} + C$ um.

$12 (\frac{1}{16}) u^{16} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{12}{16} u^{16} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (3)}{16} u^{16} + C$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} u^{16} + C$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} u^{16} + C$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} u^{16} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{12}$ .

$\frac{3}{4} {(\frac{x}{12})}^{16} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{4} {(\frac{1}{12} x)}^{16} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} {(\frac{1}{12} x)}^{16} + C$