Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 2]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 4$

Schritt 2.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{4}$ .

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Schritt 2.1.2.4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 2 |$

Schritt 2.1.2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq 2$

Schritt 2.1.2.5

Schreibe $| x | \leq 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 2$

Schritt 2.1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 2$

Schritt 2.1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 2$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Schritt 2.1.2.7

Löse $- x \leq 2$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.7.1.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x \geq - 2$

Schritt 2.1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 2$ und $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Schritt 2.1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 \leq x \leq 2$

Schritt 2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Intervallschreibweise:

$[- 2, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.9

Bringe ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Schritt 3.1.10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 3.1.11

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 3.1.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 3.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 3.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 3.1.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.1.14

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.1.15

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.16

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.1.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 3.1.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.18.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 3.1.18.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 3.1.18.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 3.1.18.4

Kombiniere $\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.18.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(0, 2)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $(0, 2)$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{4 x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 4.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Schritt 4.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 4$

Schritt 4.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.3.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Schritt 4.1.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Schritt 4.1.3.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Schritt 4.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{4}$ .

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Schritt 4.1.3.4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.1.3.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 2 |$

Schritt 4.1.3.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq 2$

Schritt 4.1.3.5

Schreibe $| x | \leq 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.1.3.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.1.3.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 2$

Schritt 4.1.3.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.1.3.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 2$

Schritt 4.1.3.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.1.3.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 2$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Schritt 4.1.3.7

Löse $- x \leq 2$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 4.1.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.3.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 4.1.3.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 4.1.3.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 4.1.3.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.7.1.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x \geq - 2$

Schritt 4.1.3.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 2$ und $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Schritt 4.1.3.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 \leq x \leq 2$

Schritt 4.1.4

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Schritt 4.1.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.5.2.2.1

Vereinfache ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.2.1.2

Vereinfache.

$4 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Schritt 4.1.5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.5.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 4$

Schritt 4.1.5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.1.5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.1.5.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.1.5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.5.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 4.1.5.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 4.1.5.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 4.1.5.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.1.5.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 4.1.5.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1.5.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 4.1.5.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 4.1.5.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 4.1.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 2, 2)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 < x < 2}$

Intervallschreibweise:

$(- 2, 2)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 < x < 2}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(0, 2)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(0, 2)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(0, 2)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[0, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 2)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 2)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[0, 2]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 - 0}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 + 0}$

Schritt 7.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4}$

Schritt 7.2.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (0) = 4 \sqrt{2^{2}}$

Schritt 7.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 4 \cdot 2$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (0) = 8$

Schritt 7.2.7

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[0, 2]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 4}$

Schritt 8.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0}$

Schritt 8.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (2) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 8.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = 4 \cdot 0$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (2) = 0$

Schritt 8.2.7

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 9

Löse $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache $\frac{(0) - (8)}{(2) - (0)}$ .

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 8}{2 - (0)}$

Schritt 9.1.1.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 - (0)}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 + 0}$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2}$

Schritt 9.1.3

Dividiere $- 8$ durch $2$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 4$

Schritt 9.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \sqrt{2}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 2$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \sqrt{2}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 2$ verläuft

Schritt 11