Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x)$ , $[0, 2 π]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 2 \sin (x)$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2 π]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x)$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(0, 2 π)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(0, 2 π)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(0, 2 π)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(0, 2 π)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[0, 2 π]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 2 π)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2 π]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 2 π)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[0, 2 π]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 \sin (0)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 8

Löse $2 \cos (x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $2 \cos (x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ .

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 \cos (x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

Schritt 8.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

Schritt 8.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ heraus.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

Schritt 8.1.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

Schritt 8.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

Schritt 8.1.3.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (π) + 2 (0)$ heraus.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Schritt 8.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Schritt 8.1.3.8

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

Schritt 8.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0}{π + 0}$

Schritt 8.1.5

Addiere $π$ und $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0}{π}$

Schritt 8.1.6

Dividiere $0$ durch $π$ .

$2 \cos (x) = 0$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 8.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 8.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 8.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 8.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 8.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 8.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{π}{2} + π n$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 2 π$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{π}{2} + π n$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 2 π$ verläuft

Schritt 10