Analysis Beispiele

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$6 \sqrt{x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $6 \sqrt{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(6 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $6 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$6^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 x^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Vereinfache.

$36 x = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$36 x = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $36 x = 0$ durch $36$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $36 x = 0$ durch $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{0}{36}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 x}{36} = \frac{0}{36}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{36}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $36$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x - \int_{4}^{9} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $4$ und $9$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $6 \sqrt{x}$ .

$\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

Schritt 3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $9$ und $4$ .

$6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 3.6.2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.6.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

Schritt 3.6.2.2.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3})$

Schritt 3.6.2.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$6 (18 - \frac{16}{3})$

Schritt 3.6.2.2.12

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 3.6.2.2.13

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 3.6.2.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Schritt 3.6.2.2.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.2.15.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$6 \frac{54 - 16}{3}$

Schritt 3.6.2.2.15.2

Subtrahiere $16$ von $54$ .

$6 (\frac{38}{3})$

Schritt 3.6.2.2.16

Kombiniere $6$ und $\frac{38}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 38}{3}$

Schritt 3.6.2.2.17

Mutltipliziere $6$ mit $38$ .

$\frac{228}{3}$

Schritt 3.6.2.2.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $228$ und $3$ .

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Schritt 3.6.2.2.18.1

Faktorisiere $3$ aus $228$ heraus.

$\frac{3 \cdot 76}{3}$

Schritt 3.6.2.2.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.2.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 76}{3 (1)}$

Schritt 3.6.2.2.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.2.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{76}{1}$

Schritt 3.6.2.2.18.2.4

Dividiere $76$ durch $1$ .

$76$

Schritt 4