Analysis Beispiele

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{4} (j + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} j + \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $j$ .

$\frac{j}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{j}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4} + \frac{1}{4} = \sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4} + \sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{4}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $\frac{1}{4}$ aus der Summe raus.

$(\frac{1}{4}) \sum_{j = 1}^{7} j$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{4}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (14)}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 14}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{2}$

Schritt 3.4.3

Dividiere $14$ durch $2$ .

$7$

Schritt 4

Berechne $\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{1}{4}) (7)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $7$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$7 + \frac{7}{4}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 6.2

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 \cdot 4 + 7}{4}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{28 + 7}{4}$

Schritt 6.4.2

Addiere $28$ und $7$ .

$\frac{35}{4}$