Analysis Beispiele

$y^{2} = 25 x$ ; $(4, 10)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (25 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$25$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = 25$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 25$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 25$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{25}{2 y}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{25}{2 y}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{25}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{25}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{25}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25}{2 y}$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $4$ und $y$ durch $10$ in dem Ausdruck.

$\frac{d y}{d x} = \frac{25}{2 (10)}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $10$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (5)}{2 (10)}$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $2 (10)$ heraus.

$\frac{5 (5)}{5 (2 \cdot (2))}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 5}{5 (2 \cdot (2))}$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2 \cdot (2)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{4}$