Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere ${(x - 9)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 9$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.2

Faktorisiere $x - 9$ aus ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ heraus.

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Schritt 1.1.4.2.1

Faktorisiere $x - 9$ aus ${(x - 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Faktorisiere $x - 9$ aus $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.2.3

Faktorisiere $x - 9$ aus $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.5.1

Faktorisiere $x - 9$ aus ${(x - 9)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.8

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.9.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10.2

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{- (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10.4

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$\frac{- 1 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 9 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 9)}^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 4

Werte $\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 9$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $- 9$ .

$\frac{- 9}{{(- 18)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$\frac{- 9}{324}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $324$ .

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{9 (- 1)}{324}$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.2.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $324$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Schritt 4.1.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Schritt 4.1.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{36}$

Schritt 4.1.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{36}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 9$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

$\frac{9}{{((9) - 9)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{9}{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{9}{0}$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 9, - \frac{1}{36})$

Schritt 5