Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π}{2} - x)}^{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π}{2} - x \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π - x \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (\cos (π - x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (\cos (π - x))$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (\cos (π - x)))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin^{2} (\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin^{2} (\cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (π - \frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.3.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{2 \cdot π - π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} π - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.1.3.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - 2 \frac{π}{2}))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π + 2 (- 1) \frac{π}{2}))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π + 2 \cdot - 1 \frac{π}{2}))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - π))}^{2}}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} \cdot 0)}^{2}}$

Schritt 3.1.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 3.1.3.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (\cos (π - x))$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (\cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (\cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (π - x)$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) (\cos (\cos (π - x)) \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π - x$ .

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Schritt 3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (- \sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (\sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.7

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.3.13.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x)$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (\cos (π - x)) \sin (\cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.13.2

Stelle $2 \cos (\cos (π - x))$ und $\sin (\cos (π - x))$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (\cos (π - x)) (2 \cos (\cos (π - x))) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.13.3

Stelle $\sin (\cos (π - x))$ und $2$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.13.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Schritt 3.3.14

Wende die Produktregel auf $\frac{π - 2 x}{2}$ an.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [\frac{{(π - 2 x)}^{2}}{2^{2}}]}$

Schritt 3.3.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [\frac{{(π - 2 x)}^{2}}{4}]}$

Schritt 3.3.16

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(π - 2 x)}^{2}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(π - 2 x)}^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(π - 2 x)}^{2}]}$

Schritt 3.3.17

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = π - 2 x$ .

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Schritt 3.3.17.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π - 2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.17.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.17.3

Ersetze alle $u$ durch $π - 2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} (2 (π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.18

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2}{4} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 (1)}{4} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Schritt 3.3.20

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Schritt 3.3.21

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Schritt 3.3.22

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 3.3.23

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.3.24

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{- 2}{2} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.25.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot - 1}{2} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.25.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{- 1}{1} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.25.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.26

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- (π - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 3.3.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- (π - 2 x)}$

Schritt 3.3.28

Vereinfache.

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Schritt 3.3.28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- π - (- 2 x)}$

Schritt 3.3.28.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- π + 2 x}$

Schritt 3.3.28.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{2 x - π}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.9

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot \sin (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.11.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.11.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.8

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 \cdot \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.9

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.11.11.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.11.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.12

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.2.11.13

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 4.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 4.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{π - π}$

Schritt 4.1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (2 \cos (π - x))$ und $g (x) = \sin (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [\sin (π - x)] + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π - x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π - x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π - x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) (\cos (π - x) \frac{d}{d x} [π - x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.5

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) \frac{d}{d x} [- x] + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (- 1 \cdot 1) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) \cdot - 1 + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 1 \cdot (\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x)) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.11

Schreibe $- 1 \sin (2 \cos (π - x))$ als $- \sin (2 \cos (π - x))$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 \cos (π - x)$ .

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Schritt 4.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 \cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 \cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.12.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 \cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.12.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 \cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) (\cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [2 \cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.13

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (π - x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (π - x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (2 \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \cdot (\sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x))) \frac{d}{d x} [\cos (π - x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.15

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π - x$ .

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Schritt 4.3.15.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.15.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.15.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (- \sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (\sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.17

Potenziere $\sin (π - x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 (\sin^{1} (π - x) \sin (π - x)) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.18

Potenziere $\sin (π - x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 (\sin^{1} (π - x) \sin^{1} (π - x)) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 {\sin (π - x)}^{1 + 1} \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.21

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.22

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.23

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.24

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.26

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.27

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.28

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 4.3.29

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 4.3.30

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.3.30.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 4.3.30.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 4.3.30.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 4.3.31

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 + 0}$

Schritt 4.3.32

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.11

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.14

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (π - x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.15

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.16

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.17

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.18

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (π - x)))$

Schritt 5.19

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x)))$

Schritt 5.20

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)))$

Schritt 5.21

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

Schritt 5.22

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (- 0 \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.7

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.8

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.10.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.10.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.11

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.13

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot 0 + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.14

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.15

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.16

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{π \cdot 2 - π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.18.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{2 \cdot π - π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.18.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.19

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1^{2} \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.20

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.21

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.22

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.23

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})))$

Schritt 7.1.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.25.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})))$

Schritt 7.1.25.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{π}{2})))$

Schritt 7.1.26

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cdot 0))$

Schritt 7.1.27

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (0))$

Schritt 7.1.28

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1)$

Schritt 7.1.29

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2)$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$