Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 1.1.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Schritt 1.1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Schritt 1.3.6

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} 1$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$1$