Analysis Beispiele

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \sec (x)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 1.2.4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 1.2.4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 1.2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze das Argument in $\sec (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4

Werte $- 5 \sec (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$- 5 \sec (0)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $π$ .

$- 5 \sec (π)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 5 (- \sec (0))$

Schritt 1.4.2.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.4.2.2.3

Multipliziere $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Schritt 1.4.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$5$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, - 5), (π, 5)$

Schritt 3

Bestimme anhand der zweiten Ableitung den Hochpunkt (Maximum) und den Tiefpunkt (Minimum).

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \sec (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.1.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.1.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 3.1.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Schritt 3.1.7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Schritt 3.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Schritt 3.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Schritt 3.1.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Schritt 3.1.10.2

Stelle die Terme um.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Schritt 3.2

Setze $0$ für $x$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Schritt 3.2.2

Berechne $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Schritt 3.2.3

Potenziere $0$ mit $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Schritt 3.2.5

Berechne $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Schritt 3.2.7

Berechne $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Schritt 3.2.8

Potenziere $1$ mit $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 3.2.10

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

Schritt 3.3

Da das Ergebnis der zweiten Ableitung bei $0$ negativ (kleiner null) ist, handelt es sich um einen Hochpunkt (Maximum).

$0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3.4

Setze $π$ für $x$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze $x$ durch $π$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Schritt 3.4.2

Berechne $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Schritt 3.4.3

Potenziere $0$ mit $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Schritt 3.4.5

Berechne $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Schritt 3.4.7

Berechne $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$0 + 5$

Schritt 3.4.10

Addiere $0$ und $5$ .

$5$

Schritt 3.5

Da das Ergebnis der zweiten Ableitung bei $π$ positiv (größer null) ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt (Minimum).

$π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3.6

Auflistung der lokalen Extrema

$0$ ist ein lokales Maximum

$π$ ist ein lokales Minimum

$0$ ist ein lokales Maximum

$π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $g (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, - 5)$

Absolutes Minimum: $(π, 5)$

Schritt 5