Analysis Beispiele

$f (x) = x + 8 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 + 8 (- \sin (x))$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f' (x) = 1 - 8 \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - 8 \sin (x)$ .

$1 - 8 \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - 8 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - 8 \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sin (x) = - 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \sin (x) = - 1$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \sin (x) = - 1$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 8}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$x = 0.12532783$

Schritt 1.2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Schritt 1.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.12532783$

Schritt 1.2.7.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $0.12532783$ von $3.14159265$ .

$x = 3.01626482$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.12532783 + 2 π n, 3.01626482 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x + 8 \cos (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0.12532783$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0.12532783$ .

$(0.12532783) + 8 \cos (0.12532783)$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $0.12532783$ und $8 \cos (0.12532783)$ .

$8.06258176$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 0.12532783 + 2 π$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $0.12532783 + 2 π$ .

$(0.12532783 + 2 π) + 8 \cos (0.12532783 + 2 π)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Addiere $0.12532783$ und $2 π$ .

$0.12532783 + 2 π + 8 \cos (6.40851313)$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $0.12532783$ und $2 π$ .

$6.40851313 + 8 \cos (6.40851313)$

Schritt 1.4.2.2.3

Addiere $6.40851313$ und $8 \cos (6.40851313)$ .

$14.34576707$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 0.12532783 + 4 π$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $0.12532783 + 4 π$ .

$(0.12532783 + 4 π) + 8 \cos (0.12532783 + 4 π)$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Addiere $0.12532783$ und $4 π$ .

$0.12532783 + 4 π + 8 \cos (12.69169844)$

Schritt 1.4.3.2.2

Addiere $0.12532783$ und $4 π$ .

$12.69169844 + 8 \cos (12.69169844)$

Schritt 1.4.3.2.3

Addiere $12.69169844$ und $8 \cos (12.69169844)$ .

$20.62895237$

Schritt 1.4.4

Berechne bei $x = 0.12532783 + 6 π$ .

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Schritt 1.4.4.1

Ersetze $x$ durch $0.12532783 + 6 π$ .

$(0.12532783 + 6 π) + 8 \cos (0.12532783 + 6 π)$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.4.2.1

Addiere $0.12532783$ und $6 π$ .

$0.12532783 + 6 π + 8 \cos (18.97488375)$

Schritt 1.4.4.2.2

Addiere $0.12532783$ und $6 π$ .

$18.97488375 + 8 \cos (18.97488375)$

Schritt 1.4.4.2.3

Addiere $18.97488375$ und $8 \cos (18.97488375)$ .

$26.91213768$

Schritt 1.4.5

Berechne bei $x = 0.12532783 + 8 π$ .

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Schritt 1.4.5.1

Ersetze $x$ durch $0.12532783 + 8 π$ .

$(0.12532783 + 8 π) + 8 \cos (0.12532783 + 8 π)$

Schritt 1.4.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.5.2.1

Addiere $0.12532783$ und $8 π$ .

$0.12532783 + 8 π + 8 \cos (25.25806905)$

Schritt 1.4.5.2.2

Addiere $0.12532783$ und $8 π$ .

$25.25806905 + 8 \cos (25.25806905)$

Schritt 1.4.5.2.3

Addiere $25.25806905$ und $8 \cos (25.25806905)$ .

$33.19532299$

Schritt 1.4.6

Berechne bei $x = 3.01626482$ .

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Schritt 1.4.6.1

Ersetze $x$ durch $3.01626482$ .

$(3.01626482) + 8 \cos (3.01626482)$

Schritt 1.4.6.2

Addiere $3.01626482$ und $8 \cos (3.01626482)$ .

$- 4.92098911$

Schritt 1.4.7

Berechne bei $x = 3.01626482 + 2 π$ .

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Schritt 1.4.7.1

Ersetze $x$ durch $3.01626482 + 2 π$ .

$(3.01626482 + 2 π) + 8 \cos (3.01626482 + 2 π)$

Schritt 1.4.7.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.7.2.1

Addiere $3.01626482$ und $2 π$ .

$3.01626482 + 2 π + 8 \cos (9.29945012)$

Schritt 1.4.7.2.2

Addiere $3.01626482$ und $2 π$ .

$9.29945012 + 8 \cos (9.29945012)$

Schritt 1.4.7.2.3

Addiere $9.29945012$ und $8 \cos (9.29945012)$ .

$1.36219619$

Schritt 1.4.8

Berechne bei $x = 3.01626482 + 4 π$ .

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Schritt 1.4.8.1

Ersetze $x$ durch $3.01626482 + 4 π$ .

$(3.01626482 + 4 π) + 8 \cos (3.01626482 + 4 π)$

Schritt 1.4.8.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.8.2.1

Addiere $3.01626482$ und $4 π$ .

$3.01626482 + 4 π + 8 \cos (15.58263543)$

Schritt 1.4.8.2.2

Addiere $3.01626482$ und $4 π$ .

$15.58263543 + 8 \cos (15.58263543)$

Schritt 1.4.8.2.3

Addiere $15.58263543$ und $8 \cos (15.58263543)$ .

$7.6453815$

Schritt 1.4.9

Berechne bei $x = 3.01626482 + 6 π$ .

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Schritt 1.4.9.1

Ersetze $x$ durch $3.01626482 + 6 π$ .

$(3.01626482 + 6 π) + 8 \cos (3.01626482 + 6 π)$

Schritt 1.4.9.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.9.2.1

Addiere $3.01626482$ und $6 π$ .

$3.01626482 + 6 π + 8 \cos (21.86582074)$

Schritt 1.4.9.2.2

Addiere $3.01626482$ und $6 π$ .

$21.86582074 + 8 \cos (21.86582074)$

Schritt 1.4.9.2.3

Addiere $21.86582074$ und $8 \cos (21.86582074)$ .

$13.92856681$

Schritt 1.4.10

Berechne bei $x = 3.01626482 + 8 π$ .

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Schritt 1.4.10.1

Ersetze $x$ durch $3.01626482 + 8 π$ .

$(3.01626482 + 8 π) + 8 \cos (3.01626482 + 8 π)$

Schritt 1.4.10.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.10.2.1

Addiere $3.01626482$ und $8 π$ .

$3.01626482 + 8 π + 8 \cos (28.14900605)$

Schritt 1.4.10.2.2

Addiere $3.01626482$ und $8 π$ .

$28.14900605 + 8 \cos (28.14900605)$

Schritt 1.4.10.2.3

Addiere $28.14900605$ und $8 \cos (28.14900605)$ .

$20.21175211$

Schritt 1.4.11

Liste all Punkte auf.

$(0.12532783, 8.06258176), (0.12532783 + 2 π, 14.34576707), (0.12532783 + 4 π, 20.62895237), (0.12532783 + 6 π, 26.91213768), (0.12532783 + 8 π, 33.19532299), (3.01626482, - 4.92098911), (3.01626482 + 2 π, 1.36219619), (3.01626482 + 4 π, 7.6453815), (3.01626482 + 6 π, 13.92856681), (3.01626482 + 8 π, 20.21175211)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0.12532783, 8.06258176), (3.01626482, - 4.92098911)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) + 8 \cos (0)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$0 + 8$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$8$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 2 π$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $2 π$ .

$(2 π) + 8 \cos (2 π)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 π + 8 \cos (0)$

Schritt 3.2.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 π + 8 \cdot 1$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$2 π + 8$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 8), (2 π, 2 π + 8)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(2 π, 2 π + 8)$

Absolutes Minimum: $(3.01626482, - 4.92098911)$

Schritt 5