Analysis Beispiele

$f (t) = \sqrt[3]{t} (20 - t)$ , $[0, 20]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}} (20 - t)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ und $g (t) = 20 - t$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [20 - t] + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- t]) + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{\frac{1}{3}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [- t] + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- \frac{d}{d t} [t]) + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 1) + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$t^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{3}}$ .

$- 1 \cdot t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.6.3

Schreibe $- 1 t^{\frac{1}{3}}$ als $- t^{\frac{1}{3}}$ um.

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.1.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.10

Bringe $t^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (20 - t) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- t^{\frac{1}{3}} + 20 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.11.2.1

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ und $t$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.3

Bringe $t^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.11.2.4

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.11.2.4.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.1.1.11.2.4.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.11.2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.11.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.11.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.11.2.4.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.11.2.5

Um $- t^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.6

Kombiniere $- t^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.9

Subtrahiere $t^{\frac{1}{3}}$ von $- 3 t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.11.3

Stelle die Terme um.

$f' (t) = \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 t^{\frac{2}{3}}, 3, 1$

Schritt 1.2.2.2

Da $3 t^{\frac{2}{3}}, 3, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $3, 3, 1$ und anschließend für den variablen Teil $t^{\frac{2}{3}}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 1.2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.6

Das kgV von $3, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 1.2.2.7

Das kgV von $t^{\frac{2}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$t^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.2.8

Das kgV von $3 t^{\frac{2}{3}}, 3, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 t^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ mit $3 t^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ mit $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} t^{\frac{2}{3}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{20}{3 t^{\frac{2}{3}}} t^{\frac{2}{3}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{t^{\frac{2}{3}}} t^{\frac{2}{3}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{t^{\frac{2}{3}}} t^{\frac{2}{3}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$20 - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ in den Zähler.

$20 + \frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$20 + \frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 (t^{\frac{2}{3}})) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 + \frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} (3 t^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$20 - 4 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5

Multipliziere $t^{\frac{1}{3}}$ mit $t^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.1.5.1

Bewege $t^{\frac{2}{3}}$ .

$20 - 4 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 - 4 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - 4 t^{\frac{2 + 1}{3}} = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5.4

Addiere $2$ und $1$ .

$20 - 4 t^{\frac{3}{3}} = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$20 - 4 t^{1} = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6

Vereinfache $- 4 t^{1}$ .

$20 - 4 t = 0 (3 t^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere $0 (3 t^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$20 - 4 t = 0 t^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $t^{\frac{2}{3}}$ .

$20 - 4 t = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 t = - 20$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 t = - 20$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 t = - 20$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 t}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 t}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 20}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Dividiere $- 20$ durch $- 4$ .

$t = 5$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{20}{3 \sqrt[3]{t^{2}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{20}{3 \sqrt[3]{t^{2}}} - \frac{4 \sqrt[3]{t^{1}}}{3}$

Schritt 1.3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{20}{3 \sqrt[3]{t^{2}}} - \frac{4 \sqrt[3]{t}}{3}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{20}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{t^{2}} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{t^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t^{2}}$ als $t^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 t^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 t^{2} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 t^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 t^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 t^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2.1.2

Dividiere $t^{2}$ durch $1$ .

$t^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$t^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$t = \pm 0$

Schritt 1.3.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$t = 0$

Schritt 1.4

Werte $\sqrt[3]{t} (20 - t)$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $t = 5$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $t$ durch $5$ .

$\sqrt[3]{5} (20 - (5))$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{5} (20 - (5))$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\sqrt[3]{5} (20 - 5)$

Schritt 1.4.1.2.3

Subtrahiere $5$ von $20$ .

$\sqrt[3]{5} \cdot 15$

Schritt 1.4.1.2.4

Bringe $15$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{5}$ .

$15 \sqrt[3]{5}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $t = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $t$ durch $0$ .

$\sqrt[3]{0} (20 - (0))$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{0} (20 - (0))$

Schritt 1.4.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}} (20 - (0))$

Schritt 1.4.2.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0 (20 - (0))$

Schritt 1.4.2.2.4

Subtrahiere $0$ von $20$ .

$0 \cdot 20$

Schritt 1.4.2.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $20$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(5, 15 \sqrt[3]{5}), (0, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $t = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $t$ durch $0$ .

$\sqrt[3]{0} (20 - (0))$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{0} (20 - (0))$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}} (20 - (0))$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0 (20 - (0))$

Schritt 2.1.2.4

Subtrahiere $0$ von $20$ .

$0 \cdot 20$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $20$ .

$0$

Schritt 2.2

Berechne bei $t = 20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $t$ durch $20$ .

$\sqrt[3]{20} (20 - (20))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{20} (20 - (20))$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\sqrt[3]{20} (20 - 20)$

Schritt 2.2.2.3

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$\sqrt[3]{20} \cdot 0$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $\sqrt[3]{20}$ mit $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (20, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $t$ gefundenen $f (t)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (t)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (t)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(5, 15 \sqrt[3]{5})$

Absolutes Minimum: $(0, 0), (20, 0)$

Schritt 4