Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{7}{9} x + 8$ , $6 \leq x \leq 7$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{7}{9} x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{7}{9} x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{9} x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{9} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{7}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{9} x$ nach $x$ gleich $\frac{7}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{7}{9}$ mit $1$ .

$\frac{7}{9} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{7}{9} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $\frac{7}{9}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{7}{9}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7}{9}$ .

$\frac{7}{9}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{7}{9} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{7}{9} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$7 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $7 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$\frac{7}{9} \cdot (6) + 8$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{7}{3 (3)} \cdot 6 + 8$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{7}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2) + 8$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2) + 8$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{3} \cdot 2 + 8$

Schritt 2.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3} + 8$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{14}{3} + 8$

Schritt 2.1.2.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 + 8 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{14 + 24}{3}$

Schritt 2.1.2.5.2

Addiere $14$ und $24$ .

$\frac{38}{3}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$\frac{7}{9} \cdot (7) + 8$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $\frac{7}{9} (7)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{7}{9}$ und $7$ .

$\frac{7 \cdot 7}{9} + 8$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{49}{9} + 8$

Schritt 2.2.2.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{49}{9} + 8 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{49}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{49 + 8 \cdot 9}{9}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{49 + 72}{9}$

Schritt 2.2.2.5.2

Addiere $49$ und $72$ .

$\frac{121}{9}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(6, \frac{38}{3}), (7, \frac{121}{9})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(7, \frac{121}{9})$

Absolutes Minimum: $(6, \frac{38}{3})$

Schritt 4