Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} (3 x - 1)$ , $x \leq 3$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} (3 x - 1)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.1.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} (3 + 0)$

Schritt 1.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3$

Schritt 1.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3}{4} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3}{4} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $3 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (3 (3) - 1)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (9 - 1)$

Schritt 2.1.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot 8$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot (4 (2))$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 2)$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2$

Schritt 2.2

Liste all Punkte auf.

$(3, 2)$

Schritt 3

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, 2)$

Kein absolutes Minimum

Schritt 5