Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cot (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.1.1.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 1.1.1.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Schritt 1.1.1.3.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + 8 (- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2})$

Schritt 1.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$8 - 8 \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 1.1.1.3.8

Kombiniere $- 8$ und $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$8 + \frac{- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 1.1.1.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ heraus.

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2}$

Schritt 1.1.1.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + \frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{1}$

Schritt 1.1.1.3.9.2.4

Dividiere $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$f' (x) = 8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = 2$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Löse in $\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = arccsc (\sqrt{2})$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.1

Der genau Wert von $arccsc (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 1.2.7.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.7.5

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.7.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.7.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.7.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.7.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.2.1

Vereinfache $2 (π - \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{2}$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{2}$

Schritt 1.2.7.6.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.7.7

Ermittele die Periode von $\csc (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.7.7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.7.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.7.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.7.8

Die Periode der Funktion $\csc (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.8

Löse in $\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = arccsc (- \sqrt{2})$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.2.1

Der genau Wert von $arccsc (- \sqrt{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.4.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

$x = 2 \frac{- π}{4}$

Schritt 1.2.8.4.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Schritt 1.2.8.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- π}{2}$

Schritt 1.2.8.4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.5

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 1.2.8.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 1.2.8.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.8.6.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.8.6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.8.6.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.8.6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.6.3.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{5 π}{2 (2)}$

Schritt 1.2.8.6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.6.3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5 π}{2}$

Schritt 1.2.8.7

Ermittele die Periode von $\csc (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.8.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.8.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.8.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.8.8

Addiere $4 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.8.1

Addiere $4 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 4 π$

Schritt 1.2.8.8.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.8.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.8.3.1

Kombiniere $4 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.8.8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.8.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 π - π}{2}$

Schritt 1.2.8.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{2}$

Schritt 1.2.8.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{2}$

Schritt 1.2.8.9

Die Periode der Funktion $\csc (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze das Argument in $\csc (\frac{x}{2})$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x}{2} = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π n)$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.2.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 π n$

Schritt 1.3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = 2 π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4

Werte $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2.4

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$4 π + 8 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$4 π + 8$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$8 (\frac{3 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (3 π) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.2.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.4.2.2.4

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$12 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.4.2.2.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$12 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.4.2.2.7

Multipliziere $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 π + 8 \cdot - 1$

Schritt 1.4.2.2.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$12 π - 8$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = \frac{5 π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{2}$ .

$8 (\frac{5 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (5 π) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.4.3.2.4

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{4})$

Schritt 1.4.3.2.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$20 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.3.2.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$20 π + 8 \cdot 1$

Schritt 1.4.3.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$20 π + 8$

Schritt 1.4.4

Berechne bei $x = \frac{7 π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7 π}{2}$ .

$8 (\frac{7 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.4.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.4.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.4.4.2.4

Multipliziere $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4})$

Schritt 1.4.4.2.5

$28 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.4.4.2.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$28 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.4.4.2.7

Multipliziere $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$28 π + 8 \cdot - 1$

Schritt 1.4.4.2.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$28 π - 8$

Schritt 1.4.5

Berechne bei $x = \frac{9 π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1

Ersetze $x$ durch $\frac{9 π}{2}$ .

$8 (\frac{9 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (9 π) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.5.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Schritt 1.4.5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.4.5.2.4

Multipliziere $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{9 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{4})$

Schritt 1.4.5.2.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$36 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.5.2.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$36 π + 8 \cdot 1$

Schritt 1.4.5.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$36 π + 8$

Schritt 1.4.6

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8), (\frac{5 π}{2}, 20 π + 8), (\frac{7 π}{2}, 28 π - 8), (\frac{9 π}{2}, 36 π + 8)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$8 (\frac{π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 (2) \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 2 \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 3.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4 \cdot 2})$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{8})$

Schritt 3.1.2.4

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{8})$ ist $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 3.1.2.4.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$2 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Schritt 3.1.2.4.3

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$2 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Schritt 3.1.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kotangens im ersten Quadranten positiv ist.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Schritt 3.1.2.4.5

Vereinfache $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.6

Vereinfache.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.9

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.10

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.10.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.10.4

Schreibe $- \sqrt{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.10.5

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.10.6

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.5

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.12.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.13

Addiere $4$ und $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.14

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $- 2 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 4 \sqrt{2}$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{2}$ heraus.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ heraus.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Schritt 3.1.2.4.5.3.15.4.4

Dividiere $3 - 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 3.1.2.5

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7 π}{4}$ .

$8 (\frac{7 π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 (2) \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 2 \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.2.4

Multipliziere $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4 \cdot 2})$

Schritt 3.2.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{8})$

Schritt 3.2.2.5

Der genau Wert von $\cot (\frac{7 π}{8})$ ist $- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.1

Schreibe $\frac{7 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2.5.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$14 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

Schritt 3.2.2.5.3

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$14 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Schritt 3.2.2.5.4

Ändere $\pm$ zu $-$ , da der Kotangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$14 π + 8 \frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Schritt 3.2.2.5.5

Vereinfache $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$14 π + 8 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Schritt 3.2.2.5.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.6

Vereinfache.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.9

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.10

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.10.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.10.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.10.4

Schreibe $- \sqrt{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.10.5

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.10.6

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.5

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.6

Wende das Distributivgesetz an.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.12.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.13

Addiere $4$ und $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.14

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $- 2 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 4 \sqrt{2}$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{2}$ heraus.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ heraus.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}})$

Schritt 3.2.2.5.5.4.15.4.4

Dividiere $3 - 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Schritt 3.2.2.6

Multipliziere $8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$14 π - 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 3.2.2.6.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$14 π + \frac{- 8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 3.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4}, 2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}), (\frac{7 π}{4}, 14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Absolutes Minimum: $(\frac{π}{2}, 4 π + 8)$

Schritt 5