Analysis Beispiele

$y = x - \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x - \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = x - \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \cos (x) = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 7

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 9

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 10

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 11

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\sin (0)$

Schritt 13

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $1 - \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 1 - \cos (- 2)$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.2.1.1

Berechne $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Schritt 14.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Schritt 14.2.2.2

Addiere $1$ und $0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.41614683$

Schritt 14.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.41614683$ .

$1.41614683$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(0, 2 π)$ in die erste Ableitung $1 - \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 1 - \cos (3)$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.2.1.1

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Schritt 14.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Schritt 14.3.2.2

Addiere $1$ und $0.98999249$ .

$f' (3) = 1.98999249$

Schritt 14.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.98999249$ .

$1.98999249$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $9$ , aus dem Intervall $(2 π, \infty)$ in die erste Ableitung $1 - \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = 1 - \cos (9)$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.4.2.1.1

Berechne $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Schritt 14.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Schritt 14.4.2.2

Addiere $1$ und $0.91113026$ .

$f' (9) = 1.91113026$

Schritt 14.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.91113026$ .

$1.91113026$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.6

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = x - \sin (x)$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 15