Analysis Beispiele

$y = \frac{9 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{9 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{9 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$9 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $1 + 0.25 x^{2}$ mit $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 0.25 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Da $0.25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.25 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.25$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Subtrahiere $0.5 x^{2}$ von $0.25 x^{2}$ .

$9 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $9$ und $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{9 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 1 + 9 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{9 + 9 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $9$ .

$\frac{9 - 2.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2.25 x^{2} + 9}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.1

Faktorisiere $2.25$ aus $- 2.25 x^{2} + 9$ heraus.

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Schritt 2.10.4.1.1

Faktorisiere $2.25$ aus $- 2.25 x^{2}$ heraus.

$\frac{2.25 (- x^{2}) + 9}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4.1.2

Faktorisiere $2.25$ aus $9$ heraus.

$\frac{2.25 (- x^{2}) + 2.25 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4.1.3

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25 (- x^{2}) + 2.25 (4)$ heraus.

$\frac{2.25 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2.25 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$\frac{2.25 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.5.1

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2} + 1$ heraus.

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Schritt 2.10.5.1.1

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2}$ heraus.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.5.1.2

Faktorisiere $0.25$ aus $1$ heraus.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Schritt 2.10.5.1.3

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ heraus.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Schritt 2.10.5.2

Wende die Produktregel auf $0.25 (x^{2} + 4)$ an.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.10.5.3

Potenziere $0.25$ mit $2$ .

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.10.6

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25 (2 + x) (2 - x)$ heraus.

$\frac{2.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.10.7

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{2.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Schritt 2.10.8

Separiere Brüche.

$\frac{2.25}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.10.9

Dividiere $2.25$ durch $0.0625$ .

$36 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.10.10

Kombiniere $36$ und $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 36 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Schritt 3.2

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 + x$ und $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $2 + x$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.6.3

Schreibe $- 1 (2 + x)$ als $- (2 + x)$ um.

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.5.11

Mutltipliziere $2 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ heraus.

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ heraus.

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.7.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ heraus.

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 3.12.3

Kombiniere $36$ und $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 - x + 2 - x$ .

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Schritt 3.13.4.1.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.2.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$f'' (x) = \frac{36 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{36 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.4.1.7.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.13.4.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 x^{3} - 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{36 (- 2 x^{3}) + 36 (- 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} + 36 (- 8 x) + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.12

Multipliziere $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.13.4.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.13.4.1.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.4.1.13.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.4.1.13.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.2

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.13.3

Addiere $- 16$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.15

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.4.1.15.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.15.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.13.4.1.15.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.15.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x + 36 (- 16 x) + 36 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.17

Mutltipliziere $- 16$ mit $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x - 576 x + 36 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.1.18

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{3} - 288 x - 576 x + 144 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.2

Addiere $- 72 x^{3}$ und $144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{72 x^{3} - 288 x - 576 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.4.3

Subtrahiere $576 x$ von $- 288 x$ .

$f'' (x) = \frac{72 x^{3} - 864 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.5

Faktorisiere $72 x$ aus $72 x^{3} - 864 x$ heraus.

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Schritt 3.13.5.1

Faktorisiere $72 x$ aus $72 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{72 x (x^{2}) - 864 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.5.2

Faktorisiere $72 x$ aus $- 864 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{72 x (x^{2}) + 72 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3.13.5.3

Faktorisiere $72 x$ aus $72 x (x^{2}) + 72 x (- 12)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{72 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Schritt 5.1.2

$9 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $1 + 0.25 x^{2}$ mit $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 0.25 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.6

Da $0.25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.25 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.7

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.25$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$9 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.8

Subtrahiere $0.5 x^{2}$ von $0.25 x^{2}$ .

$9 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.9

Kombiniere $9$ und $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{9 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.10

Vereinfache.

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Schritt 5.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 1 + 9 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.10.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{9 + 9 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.10.2.2

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $9$ .

$\frac{9 - 2.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2.25 x^{2} + 9}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.10.4.1

Faktorisiere $2.25$ aus $- 2.25 x^{2} + 9$ heraus.

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Schritt 5.1.10.4.1.1

Faktorisiere $2.25$ aus $- 2.25 x^{2}$ heraus.

$\frac{2.25 (- x^{2}) + 9}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.4.1.2

Faktorisiere $2.25$ aus $9$ heraus.

$\frac{2.25 (- x^{2}) + 2.25 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.4.1.3

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25 (- x^{2}) + 2.25 (4)$ heraus.

$\frac{2.25 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2.25 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.4.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$\frac{2.25 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.10.5.1

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2} + 1$ heraus.

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Schritt 5.1.10.5.1.1

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2}$ heraus.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.5.1.2

Faktorisiere $0.25$ aus $1$ heraus.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.5.1.3

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ heraus.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Schritt 5.1.10.5.2

Wende die Produktregel auf $0.25 (x^{2} + 4)$ an.

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.5.3

Potenziere $0.25$ mit $2$ .

$\frac{2.25 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.6

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25 (2 + x) (2 - x)$ heraus.

$\frac{2.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.7

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{2.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Schritt 5.1.10.8

Separiere Brüche.

$\frac{2.25}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.9

Dividiere $2.25$ durch $0.0625$ .

$36 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.10.10

Kombiniere $36$ und $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{36 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$36 (2 + x) (2 - x) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.3.3

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 6.3.3.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 6.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $36 (2 + x) (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2, 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{72 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $72$ mit $- 2$ .

$\frac{- 144 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 144 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{- 144 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{- 144 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 144 (4 - 12)}{512}$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$\frac{- 144 \cdot - 8}{512}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 144$ mit $- 8$ .

$\frac{1152}{512}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1152$ und $512$ .

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Schritt 10.4.2.1

Faktorisiere $128$ aus $1152$ heraus.

$\frac{128 (9)}{512}$

Schritt 10.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.2.2.1

Faktorisiere $128$ aus $512$ heraus.

$\frac{128 \cdot 9}{128 \cdot 4}$

Schritt 10.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 \cdot 9}{128 \cdot 4}$

Schritt 10.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4}$

Schritt 11

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{9 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 18}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 18}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 18}{1 + 1}$

Schritt 12.2.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 18}{2}$

Schritt 12.2.3

Dividiere $- 18$ durch $2$ .

$f (- 2) = - 9$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$y = - 9$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{72 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $72$ mit $2$ .

$\frac{144 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{144 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Schritt 14.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{144 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Schritt 14.2.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{144 (2^{2} - 12)}{512}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{144 (4 - 12)}{512}$

Schritt 14.3.2

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$\frac{144 \cdot - 8}{512}$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.1

Mutltipliziere $144$ mit $- 8$ .

$\frac{- 1152}{512}$

Schritt 14.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1152$ und $512$ .

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Schritt 14.4.2.1

Faktorisiere $128$ aus $- 1152$ heraus.

$\frac{128 (- 9)}{512}$

Schritt 14.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.2.2.1

Faktorisiere $128$ aus $512$ heraus.

$\frac{128 \cdot - 9}{128 \cdot 4}$

Schritt 14.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 \cdot - 9}{128 \cdot 4}$

Schritt 14.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9}{4}$

Schritt 14.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{4}$

Schritt 15

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{9 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{18}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{18}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Schritt 16.2.2.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{18}{1 + 1}$

Schritt 16.2.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f (2) = \frac{18}{2}$

Schritt 16.2.3

Dividiere $18$ durch $2$ .

$f (2) = 9$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$y = 9$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{9 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 9)$ ist ein lokales Minimum

$(2, 9)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18