Analysis Beispiele

$f' (x) = 2 x e^{(x^{2} - 2 x - 8)}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 2 x - 8}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 2 x - 8}] + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x - 8$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x - 8$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + 0)) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1)$

Schritt 1.4.9

Mutltipliziere $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ mit $1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)) + e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ und $g (x) = 2 x - 2$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x \frac{d}{d x} (2 x - 2) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.7

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} (x) + x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8}))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8}))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

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Schritt 2.2.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.9.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.9.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.14

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.16

Addiere $2$ und $0$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x \cdot 2 + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.17

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ .

$f''' (x) = 2 (2 \cdot (e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.18

Mutltipliziere $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ mit $1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.19

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.2.20

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8))$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Schritt 2.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Schritt 2.3.7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0))$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + 0))$

Schritt 2.3.9

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + 2 ((2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 2 (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x + 2 \cdot - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2)) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2)) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 2 \cdot e^{x^{2} - 2 x - 8})) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + x (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8})) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x (e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + x (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8})) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x (e^{x^{2} - 2 x - 8} x) - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.4.7.1

Bewege $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 (x \cdot x) e^{x^{2} - 2 x - 8} - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.4.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.5

Multipliziere $(4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 (x^{2} x) (2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.3.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.4.3.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x^{2 + 1} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x^{3} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 \cdot (2 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.6.4.1

Bewege $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 (x \cdot x) (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x^{2} (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 \cdot (- 2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 (x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.6.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.7

Addiere $4 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ und $8 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.8

Subtrahiere $8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}$ von $- 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2$

Schritt 2.4.3.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 \cdot (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2$

Schritt 2.4.3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 \cdot (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2.4.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2.4.4

Addiere $4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ und $12 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Bewege $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $4 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ und $12 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 16 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2.4.5

Addiere $16 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ und $4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ .

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Schritt 2.4.5.1

Bewege $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 16 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2.4.5.2

Addiere $16 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ und $4 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 20 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 2.4.6

Subtrahiere $4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ von $- 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 20 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6